Область определения функции
Область определения — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
Определение
Если на множестве задана функция, которая отображает множество в другое множество, то множество называется областью определения или областью задания функции.
Более формально, если задана функция , которая отображает множество в , то есть: , то множество называется областью определения[1] или областью задания[2] функции и обозначается или (от англ. domain — «область»).
Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве некоторого множества . В этом случае множество называется областью отправления функции [3].
Примеры
Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функции
Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:
- вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида ;
- а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида ,
где и — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.
Тождественное отображение
Область определения функции совпадает с областью отправления ( или ).
Гармоническая функция
Область определения функции представляет собой комплексную плоскость без нуля:
- ,
поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.
Дробно-рациональные функции
Область определения функции вида
представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения
- .
Эти точки называются полюсами функции .
Так, функция определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где . Таким образом является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.
Мера
Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
Функционал
Пусть — семейство отображений из множества в множество . Тогда можно определить отображение вида . Такое отображение называется функционалом.
Если, например, фиксировать некоторую точку , то можно определить функцию , которая принимает в «точке» то же значение, что и сама функция в точке .
См. также
Примечания
- В. А. Садовничий. Теория операторов. — М.: Дрофа, 2001. — С. 10. — 381 с. — ISBN 5-71-074297-X.
- В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
- В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 12—14. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
Литература
- Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
- Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
- И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
- Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
- В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
- Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
- А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.