Затухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида $u(t)=A\cos(\omega t+q)$ в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний $\scriptstyle u'_{t}$ или её квадрата.

Затухающие колебания пружинного маятника

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Затухающие колебания пружинного маятника

Модель пружинного маятника. B — демпфер. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется как

m{\vec {a}}={\vec {F_{c}}}+{\vec {F_{y}}},

где $F_{c}$ — сила сопротивления, $F_{y}$ — сила упругости

F_{c}=-cv

,

F_{y}=-kx,

то есть

ma+cv+kx=0,

или в дифференциальной форме

{\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,

где $k$ — коэффициент упругости в законе Гука, $c$ — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения: $\omega _{0}={\sqrt {k \over m}},\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.$

Величину $\omega _{0}$ называют собственной частотой системы, $\zeta$ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Сделав замену $x=e^{\lambda t}$ , получают характеристическое уравнение

\lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0,

корни которого вычисляются по формуле

\lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}).

Решения

Зависимость графиков колебаний от значения

\zeta

.

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность

Если $\scriptstyle \zeta >1$ , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

x(t)=c_{1}e^{\lambda _{-}\,t}+c_{2}e^{\lambda _{+}\,t}

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница апериодичности

Если $\scriptstyle \zeta =1$ , два действительных корня совпадают $\scriptstyle \lambda =-\omega _{0}$ , и решением уравнения является:

x(t)=(c_{1}t+c_{2})e^{-\omega _{o}t}

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание

Если $\scriptstyle \zeta <1$ , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

\lambda _{\pm }=-\omega _{0}\zeta \pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t))

Где $\scriptstyle \omega _{\mathrm {d} }=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы $c_{1}$ и $c_{2}$ в каждом из случаев определяются из начальных условий: $\left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&a\\{\dot {x}}(0)&=&b\end{array}}\right.$

См. также

Литература

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.