Маятник Капицы

Схема маятника Капицы

Направим ось ${\displaystyle y}$ вертикально вверх, а ось ${\displaystyle x}$ горизонтально, так чтобы плоское движение маятника происходило в плоскости (${\displaystyle x}$ — ${\displaystyle y}$). Введём обозначения:

• ${\displaystyle \nu }$ — частота вынуждающих вертикальных гармонических колебаний подвеса,
• ${\displaystyle a}$ — амплитуда вынуждающих колебаний,
• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}}$ — собственная частота колебаний математического маятника,
• ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения,
• ${\displaystyle l}$ — длина лёгкого стержня,
• ${\displaystyle m}$ — масса грузика.

Если угол между стержнем и осью ${\displaystyle y}$ обозначить как ${\displaystyle \varphi }$, то зависимость координат грузика от времени запишется следующими формулами:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x&=l\sin \varphi ,\\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t.\end{aligned}}\right.}$

Потенциальная энергия маятника в поле тяжести задаётся положением грузика по вертикали как

${\displaystyle E_{\text{pot}}=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).}$

В кинетической энергии помимо обычного слагаемого ${\displaystyle E_{\text{kin}}=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2}$, описывающего движение математического маятника, имеются дополнительные составляющие, вызванные вибрацией подвеса:

${\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t)\sin(\varphi ){\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t).}$

Полная энергия даётся суммой кинетической и потенциальной энергий ${\displaystyle E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}}$, а лагранжиан системы — их разностью ${\displaystyle L=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}}$.

Для математического маятника полная энергия является сохраняющейся величиной, поэтому кинетическая энергия ${\displaystyle E_{\text{kin}}}$ и потенциальная энергия ${\displaystyle E_{\text{pot}}}$ на графике их зависимости от времени ${\displaystyle t}$ симметричны относительно горизонтальной прямой. Из теоремы вириала следует, что средняя кинетическая и потенциальная энергии в гармоническом осцилляторе равны. Поэтому горизонтальная прямая, относительно которой имеется симметрия ${\displaystyle E_{\text{kin}}}$ и ${\displaystyle E_{\text{pot}}}$, соответствует половине полной энергии.

Характерные зависимости потенциальной и кинетической энергий от времени для математического маятника

Если подвес колеблется, то полная энергия больше не сохраняется. Кинетическая энергия является более чувствительной к вынуждающим колебаниям, чем потенциальная. Потенциальная энергия ${\displaystyle E_{\text{pot}}=mgy}$ ограничена как сверху, так и снизу: ${\displaystyle -mg(l+a)<E_{\text{pot}}<mg(l+a)}$, в то время как кинетическая энергия ограничена только снизу: ${\displaystyle E_{\text{kin}}\geqslant 0}$. При больших значениях частоты ${\displaystyle \nu }$ кинетическая энергия может быть много больше потенциальной.

Характерные зависимости потенциальной и кинетической энергий от времени для маятника Капицы

Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа. Зависимость фазы маятника ${\displaystyle \varphi }$ от времени определяет положение грузика[5]:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }}.}$

Дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-(a\nu ^{2}\cos \nu t+g){\frac {\sin \varphi }{l}},}$

описывающие эволюцию фазы маятника нелинейно из-за имеющегося в нём множителя ${\displaystyle \sin \varphi }$. Наличие нелинейного слагаемого может приводить к хаотическому поведению и появлению странных аттракторов.

Колебания маятника Капицы в глобальном (нижнем) минимуме.

Модель маятника Капицы является более общей, чем модель математического маятника. Последняя получается в предельном случае ${\displaystyle a=0}$. Фазовый портрет математического маятника хорошо известен. На координатной плоскости это просто окружность ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=l^{2}=\mathrm {const} }$. Если в начальный момент времени энергия маятника была больше, чем максимум потенциальной энергии ${\displaystyle E>mgl}$, то траектория будет замкнутой и циклической. Если же энергия маятника была меньше ${\displaystyle E<mgl}$, то он будет совершать периодические колебания около единственной устойчивой точки равновесия с наименьшим значением потенциальной энергии ${\displaystyle x=0,~y=-l}$. В случае математического маятника полная энергии системы не меняется.

Колебания маятника Капицы в локальном (верхнем) минимуме.

В случае ${\displaystyle a\neq 0}$ система более не является замкнутой и её полная энергия может изменяться. Если при этом, частота вынуждающих колебаний ${\displaystyle \nu }$ много больше частоты собственных колебаний ${\displaystyle \omega _{0}}$, то такой случай можно проанализировать математически. Оказывается[1], что если ввести эффективный потенциал, в котором движется маятник (медленно относительно частоты ${\displaystyle \nu }$), то этот потенциал может иметь два локальных минимума — один, как и раньше в нижней точке ${\displaystyle (0,-l)}$, а другой в верхней точке ${\displaystyle (0,l)}$. То есть точка ${\displaystyle (0,l)}$ абсолютно неустойчивого равновесия для математического маятника, может оказаться точкой устойчивого равновесия для маятника Капицы.

Портрет системы в координатном пространстве для маятника Капицы при относительно небольшой амплитуде вынуждающих колебаний

Интересные фазовые портреты могут быть получены для значений параметров, недоступных для аналитического рассмотрения, например в случае большой амплитуды колебания подвеса ${\displaystyle a\approx l}$[6][7]. Если увеличить амплитуду вынуждающих колебаний до половины длины маятника ${\displaystyle a=l/2}$, то получится картина аналогичная той, которая изображена на рисунке.

Портрет системы в координатном пространстве для маятника Капицы при большой амплитуде вынуждающих колебаний

При дальнейшем увеличении амплитуды ${\displaystyle a}$ (начиная от значения ${\displaystyle a=l}$), всё внутреннее пространство начинает «замазываться» полностью, то есть, если ранее не все внутренние точки координатного пространства были доступны, то теперь система может побывать в любой точке. Очевидно, что дальнейшее увеличение длины ${\displaystyle a}$ принципиально более не изменит картину.

• Как отмечал П. Л. Капица, маятниковые часы на вибрирующем основании всегда спешат.
• В коридоре института физических проблем стояла работающая модель маятника Капицы, и любой желающий мог воочию убедиться, как при её включении маятник поднимался и оставался в вертикальном положении.
• Метод эффективного потенциала был разработан П. Л. Капицей во время работы над высокочастотным генератором «ниготроном», названным так по месту исследования у себя на даче на Николиной Горе. Для того чтобы не было проблем с «секретностью» при публикации метода, П. Л. Капица придумывает простую физическую модель, к которой был бы применим этот метод. Таким образом, появляются статьи[1] про маятник с вибрирующим подвесом.
• П. Л. Капица предлагал решить задачу в изменённом варианте поступающим к нему в аспирантуру. Требовалось отыскать условие устойчивости акробата на доске, положенной на цилиндр, лежащий на боку. Ожидаемый ответ был, что если акробат начинал быстро переступать ногами, то его положение становилось устойчивым.
• При ходьбе устойчивость тела увеличивается в несколько раз по сравнению с устойчивостью при стоянии. Этот биомеханический феномен до настоящего времени не изучен. Существует гипотеза, которая объясняет устойчивость тела при ходьбе колебательными движениями центра голеностопного сустава. Тело человека представляется с позиции перевёрнутого маятника с центром в области голеностопных суставов, который приобретает устойчивость в вертикальном положении, если его центр совершает колебание вверх-вниз с достаточно высокой частотой (маятник Капицы).