Аттрактор

Пусть для динамической системы задана область ${\displaystyle U}$, которая переводится строго внутрь себя динамикой:

${\displaystyle {\overline {f(U)}}\subset U}$

Тогда максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:

${\displaystyle A_{max}=\bigcap _{n=1}^{\infty }f^{n}(U).}$

То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также его применяют в уравнениях с частными производными[1].

У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно — скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания — то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами — это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Точка x динамической системы называется блуждающей, если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:

${\displaystyle \forall n>0\quad f^{n}(U)\bigcap U=\emptyset .}$

Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество ${\displaystyle A_{stat}}$, в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности ${\displaystyle U}$ для почти любой (в смысле меры Лебега) точки ${\displaystyle x}$ выполнено

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\#\{j\leq N\mid f^{j}(x)\in U\}\to 1,\quad N\to \infty .}$

Минимальный аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество ${\displaystyle A_{min}}$, в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности ${\displaystyle U}$ выполнено

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}(f_{*}^{j}(Leb))(U)\to 1,\quad N\to \infty .}$

(пример: маятник с трением)

(пример: микрофон+колонки, осциллятор Ван дер Поля)

Классический пример странного аттрактора — аттрактор Лоренца

(примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, соленоид Смейла-Вильямса; комментарий про эффект бабочки и про динамический хаос.)

Странный аттрактор — это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы[2]. В отличие от аттрактора, не является многообразием, то есть не является кривой или поверхностью. Структура странного аттрактора фрактальна. Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция.

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической: прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты, в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время. Но на самом деле взмах крыла бабочки обыкновенно не создает торнадо, так как на практике наблюдается такая тенденция, что такие маленькие колебания в среднем не меняют динамики таких сложных систем как атмосфера планеты, и сам Лоренц по этому поводу говорил: «Но в целом, я утверждаю, что в течение лет незначительные потрясения ни увеличивают, ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы. Всё, что они могут сделать — это изменить порядок, в котором происходят эти явления.» И это, пожалуй, важная и удивительная вещь, без которой было бы трудно, а то и вообще невозможно изучать хаотическую динамику (динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы).

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца.

Система дифференциальных уравнений, создающих аттрактор Лоренца, имеет вид:

${\displaystyle {\dot {x}}=\sigma (y-x)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=x(r-z)-y}$

${\displaystyle {\dot {z}}=xy-bz}$

при следующих значениях параметров: ${\displaystyle \sigma =10}$, ${\displaystyle r=28}$, ${\displaystyle b=8/3}$. Аттрактор Лоренца не является классическим. Он также не является странным в смысле Смейла.[3]

Соленоид Смейла — Вильямса — пример обратимой динамической системы

Соленоид Смейла-Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

https://web.archive.org/web/20101227004521/http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/ru/strange_r.htm

• Существует такое метрически плотное подмножество D пространства T, что аттрактор Милнора всякой динамической системы из множества D может быть разбит лишь на конечное количество транзитивных компонент;
• Транзитивные компоненты аттрактора обладают SRB-мерой;
• Транзитивные компоненты аттрактора стохастически устойчивы в своих бассейнах притяжения;
• Для типичной системы типичного семейства одномерной динамики компоненты аттрактора либо представляют собой притягивающие периодические траектории, либо обладают абсолютно непрерывной инвариантной мерой.[5]