Отображение удвоения

• Отображение удвоения — необратимое и является накрытием степени 2.
• Отображение удвоения является растягивающим.
• Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности сопряжено отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.
• Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения структурно устойчиво.
• Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным накрытием, полусопряжена отображению удвоения.
• Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение зуб пилы: ${\displaystyle f(x)=\{2x\}}$, где ${\displaystyle \{\cdot \}}$ — дробная часть.
• Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения ${\displaystyle S^{1}=[0,1/2[\cup [1/2,1[}$, сопрягает отображение удвоения со сдвигом Бернулли, при этом мере Лебега соответствует мера Бернулли с весами (1/2,1/2).
• Энтропия отображения удвоения равна логарифму двух.

Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.