Структурная устойчивость

В теории динамических систем, отображение f называется C^k-структурно устойчивым, если любое C^k-близкое к нему отображение g топологически сопряжено ему некоторым гомеоморфизмом h, близким к тождественному:

${\displaystyle g=h\circ f\circ h^{-1}}$

Иными словами, динамика g отличается от динамики f только (непрерывной) заменой координат.

Если гладкость k не указана явно, по умолчанию считается, что речь идёт о C¹-возмущениях. Стоит отметить, что замена h почти никогда не может оказаться гладкой: малым возмущением можно изменить собственные значения в неподвижных и периодических точках, которые являются инвариантами гладкого сопряжения.

В двумерном случае малое шевеление приводит любое состояние к структурно устойчивому. В 3- и более мерных случаях такое верно не всегда.

Аносов открыл, что существуют структурно устойчивые хаотические системы.

Пример: Системы Морса-Смейла структурно устойчивы.