Аттрактор Рёсслера

Два из уравнений системы Рёсслера линейны. При ${\displaystyle z=0}$ они принимают вид

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrix}}\right.}$

Поэтому устойчивость движения в плоскости ${\displaystyle z=0}$ определяется собственными значениями матрицы Якоби ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}}$, которые равны ${\displaystyle {\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}}$.

Проекция аттрактора Рёсслера на плоскость ${\displaystyle x,y}$ при ${\displaystyle a=0.2}$, ${\displaystyle b=0.2}$, ${\displaystyle c=5.7}$. Красная точка в середине спирали и черная точка внизу слева - неподвижные точки системы дифференциальных уравнений Рёсслера.

Когда ${\displaystyle 0<a<2}$, собственные значения имеют положительную вещественную часть и комплексно сопряжены. Поэтому фазовые траектории расходятся от начала координат по спирали. Теперь проанализируем изменение координаты ${\displaystyle z}$, считая ${\displaystyle 0<a<2}$. Пока ${\displaystyle x}$ меньше ${\displaystyle c}$, множитель ${\displaystyle x-c}$ в уравнении на ${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}}$ будет удерживать траекторию близкой к плоскости ${\displaystyle x,y}$. Как только ${\displaystyle x}$ станет больше ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle z}$-координата начнёт расти. В свою очередь, большой параметр ${\displaystyle -z}$ начнёт тормозить рост ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$.

Уравнения на неподвижные точки можно найти, положив производные в системе уравнений Рёсслера равными нулю. В результате оказывается, что существует две неподвижные точки:

${\displaystyle \left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

Как видно на изображении проекции аттрактора Рёсслера выше, одна из этих точек расположена в центре спирали аттрактора, а другая находится далеко от неё.

Изменение параметра b

Бифуркационная диаграмма для системы Рёсслера для меняющегося ${\displaystyle b}$

Зафиксируем ${\displaystyle a=0.2}$, ${\displaystyle c=5.7}$ и будем менять теперь параметр ${\displaystyle b}$. Как видно из рисунка, при ${\displaystyle b}$ стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда ${\displaystyle b}$ станет больше ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle c}$, система уравновесится и перейдёт в стационарное состояние.

Изменение параметра c

Бифуркационная диаграмма для системы Рёсслера для меняющегося ${\displaystyle c}$

Зафиксируем ${\displaystyle a=b=0.1}$ и будем изменять ${\displaystyle c}$. Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких ${\displaystyle c}$ система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении ${\displaystyle c}$. Например при ${\displaystyle c}$ = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда ${\displaystyle c}$ = 3 и так далее; пока ${\displaystyle c}$ не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений ${\displaystyle c}$, которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

Variations in the post-transient Rössler system as ${\displaystyle c}$ is varied over a range of values.