Угловое ускорение

К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твёрдого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела ${\displaystyle B}$ при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна

${\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}},}$

где ${\displaystyle {\vec {v}}_{A}}$ — скорость точки тела ${\displaystyle A}$, принятой в качестве полюса; ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ — псевдовектор угловой скорости тела; ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ — вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение и используя формулу Ривальса[1], имеем

${\displaystyle {\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {AB}})}$

${\displaystyle {\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {a_{BA}^{rot}}}+{\vec {a_{BA}^{axis}}},}$

где ${\displaystyle {\vec {a}}_{A}}$ — ускорение полюса ${\displaystyle A}$; ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}}$ — псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки ${\displaystyle B}$, вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки ${\displaystyle B}$ вокруг полюса ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{BA}^{\,rot}={\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}.}$

Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки ${\displaystyle B}$ вокруг полюса ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{BA}^{\,axis}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}\right).}$

Псевдовектор ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}}$ направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени ${\displaystyle t}$ и в момент времени ${\displaystyle t+\Delta t}$. Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta {\vec {\omega }}={\vec {\omega }}(t+\Delta t)-{\vec {\omega }}(t).}$

Отнесём это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло

${\displaystyle {\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\vec {\varepsilon }}^{\,\,'}.}$

Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{1}}$. Перейдём к пределу при ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

${\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\vec {\varepsilon }}.}$

Вектор среднего углового ускорения перейдёт в вектор мгновенного углового ускорения и займёт положение касательной в точке ${\displaystyle M_{0}}$ к годографу угловой скорости.

При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}=\left(1-\cos \varphi \right)\left({\vec {u}}\times {\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}\right)+{\dot {\varphi }}\left(1+\cos \varphi \right){\frac {d{\vec {u}}}{dt}}+{\dot {\varphi }}\sin \varphi \left({\vec {u}}\times {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}\right)+\sin \varphi \,{\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}+{\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}},}$

где ${\displaystyle {\vec {u}}}$ — орт, задающий направление оси поворота; ${\displaystyle \varphi }$ — угол, на который совершается поворот вокруг оси ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела ${\displaystyle O_{1}}$ и ${\displaystyle O_{2}}$, производные орта оси вращения равны нулю

${\displaystyle {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}=0.}$

В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}}}$

или

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}=\varepsilon \,{\vec {u}},}$

где ${\displaystyle \varepsilon ={\ddot {\varphi }}}$ — алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак

(${\displaystyle {\dot {\varphi }}\,{\ddot {\varphi }}>0}$),

то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при ${\displaystyle {\dot {\varphi }}\,{\ddot {\varphi }}<0}$, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).

В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела

${\displaystyle \varphi =\varphi (t).}$

В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения ${\displaystyle \varphi _{0}=\varphi (t_{0}).}$

${\displaystyle s(t)=R\,\left(\varphi (t)-\varphi _{0}\right),}$

где ${\displaystyle R}$ — расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=v_{\tau }=R\,{\frac {d\varphi }{dt}}=\omega \,R,}$

где ${\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}}}$ — алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения

${\displaystyle {\vec {a}}_{M}={\vec {a}}_{M}^{\,\tau }+{\vec {a}}_{M}^{\,n},}$

причём тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки

${\displaystyle a_{M}^{\,\tau }={\frac {dv_{\tau }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \,R\right)=R\,{\frac {d\omega }{dt}}=\varepsilon \,R,}$

где ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}}$ — алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам

${\displaystyle a_{M}^{\,n}={\frac {v_{\tau }^{2}}{R}}=\omega ^{2}\,R.}$

Если поворот твёрдого тела задан тензором ранга ${\displaystyle \left(1,\,1\right)}$ (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота

${\displaystyle B_{\,m}^{\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}+\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k},}$

где ${\displaystyle \delta _{\,m}^{\,p}}$ — символ Кронекера; ${\displaystyle \epsilon _{\,lkj}}$ — тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле

${\displaystyle \varepsilon ^{\,i}={\frac {1}{2}}\,\epsilon ^{ikl}\,g_{\,lp}\,\left(B_{\,m}^{'\,p}\,{\ddot {B}}_{\,k}^{\,m}+{\dot {B}}_{\,m}^{'\,p}\,{\dot {B}}_{\,k}^{\,m}\right),}$

где ${\displaystyle B_{\,m}^{'\,p}}$ — тензор обратного преобразования, равный

${\displaystyle B_{\,m}^{'\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}-\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k}.}$

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики — 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986 — 416 С.
2. Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. — Брянск: БГТУ, 1997. — 197 С.