Абсолютно твёрдое тело

Абсолю́тно твёрдое те́ло — второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твёрдого тела полностью сводима к механике материальных точек (с наложенными связями), но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твёрдого тела), представляющее большой теоретический и практический интерес.

Основные определения

Существует несколько определений абсолютно твёрдого тела:

  1. Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются, каким бы воздействиям данное тело в процессе взаимодействия с другими твёрдыми объектами ни подвергалось[1] (поэтому абсолютно твёрдое тело не изменяет свою форму и сохраняет неизменным распределение масс).
  2. Абсолютно твёрдое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.
  3. Абсолютно твёрдое тело — тело (система), для точек которого выполнено и . Данное понятие представляет математическую модель твёрдого тела.
  • Таким образом, текущая конфигурация абсолютно твёрдого тела полностью определяется, например, положением жёстко связанной с ним декартовой системы координат (часто её начало координат делают совпадающим с центром масс тела).

В трёхмерном пространстве свободное абсолютно твёрдое тело (т. е. твёрдое тело, на которое не наложены внешние связи) в общем случае имеет 6 степеней свободы: три поступательных и три вращательных[2]. Исключение составляет двухатомная молекула или — на языке классической механики — твёрдый стержень нулевой толщины; такая система имеет только две вращательных степени свободы.

Строго говоря, абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала и ею можно пренебречь, реальное тело может (приближённо) рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для решения задачи.

В рамках релятивистской механики понятие абсолютно твёрдого тела внутренне противоречиво, что показывает, в частности, парадокс Эренфеста. Другими словами, модель абсолютно твёрдого тела не применима к случаю быстрых движений (сопоставимых по скорости со скоростью света), а также к случаю очень сильных гравитационных полей[3].

Кинематика абсолютно твёрдого тела
Основная статья: Кинематика твёрдого тела

Распределение скоростей точек движущегося абсолютно твёрдого тела описывается формулой Эйлера[4]. При решении задач о распределении скоростей бывает весьма полезна также теорема Грасгофа о проекциях скоростей, обычно формулируемая так: «Проекции скоростей двух произвольных точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой»[5].

Динамика абсолютно твёрдого тела

Динамика абсолютно твёрдого тела полностью определяется его полной массой, положением центра масс и тензором инерции (в то время как динамика материальной точки полностью определяется заданием её массы); конечно, имеется в виду, что заданы все внешние силы и внешние связи (а они, в свою очередь, могут зависеть от формы тела или его частей, и т. д.). Детали распределения масс абсолютно твёрдого тела никак не сказываются на его движении[6]; если как-то так перераспределить массы внутри абсолютно твёрдого тела, что не изменятся положение центра масс и тензор инерции тела, то не изменится и движение твёрдого тела при заданных внешних силах (хотя при этом, вообще говоря, изменятся внутренние напряжения в самом твёрдом теле).

Частные определения

Абсолютно твёрдое тело на плоскости называется плоским ротатором. Он имеет 3 степени свободы: две поступательные и одну вращательную.

Абсолютно твёрдое тело, помещённое в поле тяжести и способное вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, называется физическим маятником[7].

Абсолютно твёрдое тело с одной закреплённой точкой, но способное вращаться, называется волчком.

Примечания
  1. Маркеев, 1990, с. 38.
  2. Маркеев, 1990, с. 39.
  3. В некоторых частных случаях (например, при быстром движении относительно наблюдателя тела, которое само вращается медленно) модель абсолютно твёрдого тела может принести пользу: задача сначала решается в ньютоновском приближении в системе отсчёта, связанной, например, с центром масс тела, где все движения медленные, а потом с помощью преобразований Лоренца делается пересчёт готового решения в систему отсчёта наблюдателя. Однако всегда нужна особая осторожность при таком применении, так как, вообще говоря, при использовании модели абсолютно твёрдого тела в данной ситуации повышен риск получить или явный парадокс, или просто неверный ответ.
  4. Маркеев, 1990, с. 47—48.
  5. Павловский, Акинфиева, Бойчук, 1989, с. 165.
  6. Случаи, когда (внешние) силы зависят от масс — например, случай (неоднородной) гравитации — в принципе нарушают простое утверждение о независимости динамики абсолютно твёрдого тела от деталей распределения его массы (такое нарушение в нашей формулировке устраняется оговоркой о заданности внешних сил). В практических же расчётах всегда можно рассмотреть распределение массы, от которого зависят силы, (например — распределение гравитационной массы в случае тяготения) чисто формально независимым от распределения инертной массы — хотя на самом деле они совпадают; тогда утверждение о независимости динамики от деталей распределения массы формально же касается только второго из них, а не первого.
  7. Маркеев, 1990, с. 149.

Литература
  • Суслов Г. К.  Теоретическая механика. — М.: Гостехиздат, 1946.
  • Аппель П.  Теоретическая механика. Тт. 1,2. — М.: Физматгиз, 1960.
  • Четаев Н. Г.  Теоретическая механика. — М.: Наука, 1987.
  • Павловский М. А., Акинфиева Л. Ю., Бойчук О. Ф.  Теоретическая механика. Статика. Кинематика. — Киев: Вища школа, 1989. — 351 с. — ISBN 5-11-001177-X.
  • Маркеев А. П.  Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990. — 416 с. — ISBN 5-02-014016-3.
  • Голубев Ю. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 2000. — 720 с. — ISBN 5-211-04244-1.
  • Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики: Учебник. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2008. — 304 с. — ISBN 978-5-9221-0907-9.
  • Тарг С. М.  Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов. 18-е изд. — М.: Высшая школа, 2010. — 416 с. — ISBN 978-5-06-006193-2.

Ссылка
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.