Эллиптические функции Якоби

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды ${\displaystyle \varphi }$, или обычно, в терминах ${\displaystyle u}$, данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра ${\displaystyle m}$, или как эллиптический модуль ${\displaystyle k}$, где ${\displaystyle k^{2}=m}$, или в терминах модулярного угла ${\displaystyle {\mbox{æ}}}$, где ${\displaystyle m=\sin ^{2}{\mbox{æ}}}$.

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

${\displaystyle u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.}$

Эллиптическая функция ${\displaystyle \operatorname {sn} u}$ задаётся как

${\displaystyle \operatorname {sn} u=\sin \varphi }$

и ${\displaystyle \operatorname {cn} u}$ определяется

${\displaystyle \operatorname {cn} u=\cos \varphi ,}$

а

${\displaystyle \operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}.}$

Здесь угол ${\displaystyle \varphi }$ называется амплитудой. ${\displaystyle \operatorname {dn} u=\Delta (u)}$ называется дельта амплитудой. Значение ${\displaystyle m}$ является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне ${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant 1}$, и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды ${\displaystyle \varphi }$ и параметра ${\displaystyle m}$.

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$, то ${\displaystyle u}$ равен четверти периода ${\displaystyle K}$.

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим ${\displaystyle \vartheta (0;\;\tau )}$ как ${\displaystyle \vartheta }$, и ${\displaystyle \vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )}$ соответственно как ${\displaystyle \vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}}$ (тета константы) тогда эллиптический модуль ${\displaystyle k}$ равен ${\displaystyle k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}}$. Полагая ${\displaystyle u=\pi \vartheta ^{2}z}$, получим

${\displaystyle \operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\;\tau )}}.}$

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля ${\displaystyle k(\tau )}$, необходимо найти обратные к ним и выразить ${\displaystyle \tau }$ в терминах ${\displaystyle k}$. Начнём с дополнительного модуля ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$. Как функция ${\displaystyle \tau }$ запишем

${\displaystyle k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.}$

Введём обозначение

${\displaystyle \ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.}$

Определим также ном ${\displaystyle q}$ как ${\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}$ и разложим ${\displaystyle \ell }$ в ряд по степеням нома ${\displaystyle q}$. Получим

${\displaystyle \ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots }}.}$

Обращение ряда даёт

${\displaystyle q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\ldots }$

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть ${\displaystyle \tau }$ больше или равна ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$, мы можем сказать, что значение ${\displaystyle q}$ меньше или равно ${\displaystyle \exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)}$. Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для ${\displaystyle q}$.

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)=1/\operatorname {sn} (u),}$

${\displaystyle \operatorname {nc} (u)=1/\operatorname {cn} (u),}$

${\displaystyle \operatorname {nd} (u)=1/\operatorname {dn} (u).}$

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

${\displaystyle \operatorname {sc} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {cs} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,}$

${\displaystyle \operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)} .}$

Более кратко запишем

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr(u)} }},}$

где все буквы ${\displaystyle \operatorname {p} }$, ${\displaystyle \operatorname {q} }$, и ${\displaystyle \operatorname {r} }$ являются любыми буквами ${\displaystyle \operatorname {s} }$, ${\displaystyle \operatorname {c} }$, ${\displaystyle \operatorname {d} }$, ${\displaystyle \operatorname {n} }$ (следует помнить, что ${\displaystyle \operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1}$).

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1.}$

Видно, что (${\displaystyle \operatorname {cn} }$, ${\displaystyle \operatorname {sn} }$, ${\displaystyle \operatorname {dn} }$) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби

${\displaystyle \operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}},}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}},}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)-k^{2}\,\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.}$

• Если ${\displaystyle m=1}$, то

${\displaystyle u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta }}}}=\operatorname {ln} \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatorname {tg} \varphi \right).}$

Отсюда

${\displaystyle \sin \varphi =\operatorname {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operatorname {th} \,u.}$

Отсюда

${\displaystyle \operatorname {cn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}}}$

и

${\displaystyle \operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}}.}$

Таким образом, при ${\displaystyle m=1}$ эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

• Если ${\displaystyle m=0}$, то

${\displaystyle u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .}$

Отсюда

${\displaystyle \sin \varphi =\sin \,u=\operatorname {sn} \,u,}$

а также

${\displaystyle \operatorname {cn} \,u=\cos \,u,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} \,u=1.}$

Таким образом, при ${\displaystyle m=0}$ эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2}(u)-m,}$

${\displaystyle -m_{1}\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=m\;\operatorname {cd} ^{2}(u)-m,}$

${\displaystyle m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-m,}$

${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m,}$

где ${\displaystyle m+m_{1}=1}$ и ${\displaystyle m=k^{2}}$.

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что ${\displaystyle \operatorname {pq} ^{2}\cdot \operatorname {qp} ^{2}=1}$, а также ${\displaystyle \operatorname {pq} =\operatorname {pr} /\operatorname {qr} }$, где ${\displaystyle \operatorname {p} }$, ${\displaystyle \operatorname {q} }$, ${\displaystyle \operatorname {r} }$ — любые буквы ${\displaystyle \operatorname {s} }$, ${\displaystyle \operatorname {c} }$, ${\displaystyle \operatorname {d} }$, ${\displaystyle \operatorname {n} }$ и ${\displaystyle \operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1}$.

Пусть ном равен ${\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)}$ и пусть аргумент — ${\displaystyle v=\pi u/(2K)}$. Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

${\displaystyle \operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.}$

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).}$

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle 0<k<1}$) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

• ${\displaystyle \mathrm {sn} \,(x;\;k)}$ является решением уравнения ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0}$ и ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2});}$

• ${\displaystyle \mathrm {cn} \,(x;\;k)}$ является решением уравнения ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0}$ и ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2});}$

• ${\displaystyle \mathrm {dn} \,(x;\;k)}$ является решением уравнения ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0}$ и ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2}).}$

• Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эллиптические функции (недоступная ссылка) — Процедуры для Matlab

• Бобылёв Д. К. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (англ.). — New York: Dover, 1972. See Chapter 16

• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций (неопр.). — М.: Наука, 1970.

• Ватсон Дж. Н., Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции (рус.). — М.: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010