Эпициклоида

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен ${\displaystyle R}$, радиус катящейся по ней окружности равен ${\displaystyle r}$, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle {\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y=(R+r)\sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), ${\displaystyle \varphi }$ — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси ${\displaystyle OX}$.

Можно ввести величину ${\displaystyle \textstyle k={\frac {R}{r}}}$, тогда уравнения предстанут в виде

${\displaystyle {\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y=r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}}$

Величина ${\displaystyle k}$ определяет форму эпициклоиды. При ${\displaystyle k=1}$ эпициклоида образует кардиоиду, а при ${\displaystyle k=2}$ — нефроиду. Если ${\displaystyle k}$ — несократимая дробь вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ (${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$), то ${\displaystyle m}$ — это количество каспов данной эпициклоиды, а ${\displaystyle n}$ — количество полных вращений катящейся окружности. Если ${\displaystyle k}$ иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

• Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
• 
  ${\displaystyle k=1}$ (кардиоида)
• 
  ${\displaystyle k=2}$ (нефроида)
• 
  ${\displaystyle k=3}$
• 
  ${\displaystyle k={\frac {3}{4}}}$
• 
  ${\displaystyle k={\frac {1}{3}}}$
• 
  ${\displaystyle k=0.5={\frac {1}{2}}}$
• 
  ${\displaystyle k=2.1={\frac {21}{10}}}$
• 
  ${\displaystyle k=3.8={\frac {19}{5}}}$
• 
  ${\displaystyle k=5.5={\frac {11}{2}}}$
• 
  ${\displaystyle k=7.2={\frac {36}{5}}}$

Эскиз для доказательства

Пусть ${\displaystyle P}$ - искомая точка, ${\displaystyle \alpha }$ - угол отклонения точки ${\displaystyle P}$ от точки касания двух окружностей, ${\displaystyle \theta }$ - угол отклонения между центрами данных окружностей.

Так как окружность катится без скольжения, то ${\displaystyle \ell _{R}=\ell _{r}}$

По определению длины дуги окружности:

${\displaystyle \ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r}$

Из данных двух утверждений выплывает, что

${\displaystyle \theta R=\alpha r}$

Получаем соотношения для ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta }$

Пусть центр неподвижной окружности ${\displaystyle A}$, центр второй окружности ${\displaystyle B}$. Очевидно, что ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}}$

Перепишем в координатах:

${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta$ ;\left(R+r\right)\sin \theta )}}+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right);\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right))}}}
  

Следовательно позиция точки ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

• Циклоида
• Гипоциклоида
• Эпитрохоида