Кардиоида

Порождение кардиоиды и используемая система координат

Пусть ${\displaystyle a}$ — радиусы окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности (см. рисунок). Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах[2]:

• В прямоугольных координатах[1]:

  ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+2ax)^{2}-4a^{2}(x^{2}+y^{2})\,=\,0}$

• В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

  ${\displaystyle x=2a\cos t-a\cos 2t}$

  ${\displaystyle y=2a\sin t-a\sin 2t}$

• В полярных координатах[2][1]:

  ${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )}$

• Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля
• Кардиоида является частным случаем синусоидальной спирали
• Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Кардиоида имеет один касп.
• Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой в полярных координатах

${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )}$

равна:

${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin({\tfrac {\varphi }{2}})d\varphi =16a}$

• Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой в полярных координатах

${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )}$

равна:

${\displaystyle S=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}}$ .

Радиус кривизны любой линии:

${\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}$

Что даёт для кардиоиды заданной уравнением в полярных координатах:

${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}},}$

${\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}$

• Кардиоида есть Синусоидальная спираль при ${\displaystyle \textstyle n={\frac {1}{2}}}$;
• Кардиоида есть Улитка Паскаля при ${\displaystyle a=\ell }$.

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная ${\displaystyle a>\ell }$, красная (кардиоида) ${\displaystyle a=\ell }$ и синяя ${\displaystyle a<\ell }$

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè, 1705 г.). Название кривой дал в 1741 году Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (он упоминается также как Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon).

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire), который открыл кривую независимо, в 1708 году. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 год). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII—XIX веков.

• Пространственная кардиоида
• Стержень Витгенштейна

• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — М.: Физматлит, 1960. — С. 230—233. — 293 с.. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Кардиоида // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 130—131. — 352 с.