Площадь фигуры

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

Положительность — площадь неотрицательна;
Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\varepsilon >0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$ , такие что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ , где $S(P)$ обозначает площадь $P$ .

Примеры квадрируемых фигур

многоугольники;
любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.

Связанные определения

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
- То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).

Формулы

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$a$ — длина стороны треугольника.
Треугольник	${\sqrt {p{\cdot }(p-a){\cdot }(p-b){\cdot }(p-c)}}$	Формула Герона. $p$ — полупериметр, $a$ , $b$ и $c$ — длины сторон треугольника.
Треугольник	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Треугольник	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ и $h$ — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат	$a^{2}$	$a$ — длина стороны квадрата.
Прямоугольник	$a{\cdot }b$	$a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.
Ромб	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ — сторона ромба, $\alpha$ — внутренний угол, $b,c$ — диагонали.
Параллелограмм	$b{\cdot }h$	$b$ — длина одной из сторон параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$a$ и $b$ — длины параллельных сторон, а $h$ — расстояние между ними (высота).
Четырёхугольник	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$ и $m$ — длины диагоналей, и $\phi$ — угол между ними.
Правильный шестиугольник	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$a$ — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2}}){\cdot }a^{2}$	$a$ — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник	${\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)}}$	$a$ — длина стороны многоугольника, а $n$ — количество сторон многоугольника.
Правильный многоугольник	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$a$ — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а $p$ — периметр многоугольника.
Произвольный многоугольник	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right\|$	Формула площади Гаусса. $(x_{i},y_{i})$ — координаты вершин $n$ -угольника, $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
Круг	$\pi {\cdot }r^{2}$ или ${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$ — радиус окружности, а $d$ — её диаметр.
Сектор круга	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ и $\theta$ — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс	$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$a$ и $b$ — большая и малая полуоси эллипса.

См. также

Исчезновение клетки
Мера Бореля
Мера Жордана
Мера Лебега
Ориентированная площадь
Площадь
Площадь поверхности
Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
Треугольник о площадях треугольников
Четырехугольник о площадях четырехугольников

Литература

В. Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
§§ 244—276 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO]

Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.