Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Параллелограмм

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Противоположные углы параллелограмма равны, а сумма соседних равна 180°.
  • Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  • Противолежащие углы параллелограмма равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
    .
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
  • Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, и  — длины диагоналей; тогда
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

  1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: .
  2. Все противоположные углы попарно равны: .
  3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: .
  4. Все противоположные стороны попарно параллельны: .
  5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
  6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
  7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .

Площадь параллелограмма

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

, где  — сторона,  — высота, проведённая к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними:

где и  — стороны, а  — угол между сторонами и .

Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

где

См. также

Примечания


    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.