Прямоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:[1]

• Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}$ (иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)

• Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}$

• В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть

${\displaystyle \displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},}$

Кроме того высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

и

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

${\displaystyle f=r\delta _{S}\ =r(1+{\sqrt {2}})}$, где ${\displaystyle r}$ — это радиус вписанной окружности, а ${\displaystyle \delta _{S}}$ — серебряное сечение.

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из следующих соотношений:[4]

• ${\displaystyle c=2R}$, то есть одна из сторон является диаметром описанной окружности,
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2}$,
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1}$,
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}}$,
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ (обратная теорема Пифагора),
• ${\displaystyle a+b=2(R+r)}$, то есть сумма двух сторон равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей,
• описанная окружность является касательной к окружности девяти точек.

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\operatorname {tg} \alpha ={\frac {a}{b}},\,\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {b}{a}},\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}.}$

И таким образом:

• Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла

${\displaystyle a=c\cdot \sin \alpha ,\,b=c\cdot \sin \beta .}$

• Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла

${\displaystyle a=c\cdot \cos \beta ,\,b=c\cdot \cos \alpha .}$

• Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла

${\displaystyle a=b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,\,b=a\cdot \operatorname {tg} \beta .}$

• Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла

${\displaystyle a=b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,\,b=a\cdot \operatorname {ctg} \alpha .}$

• Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)

${\displaystyle c={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\cos \beta }}={\frac {b}{\cos \alpha }}.}$

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и треугольник 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный), который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4. В частности,

• Катет, лежащий против острого угла в 30° (и соответственно, прилежащий к углу в 60°), равен половине гипотенузы.

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]^{:pp. 216-217}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

Прямоугольный треугольник является единственным треугольником с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]

Пусть h и s (h>s) являются сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырёх описанных окружностей:

${\displaystyle P=2r+4R}$

Если заданы S и r, то стороны треугольника находятся по формулам:

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}-{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2}}{r^{2}}}}}\right)}$

${\displaystyle b={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}+{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2}}{r^{2}}}}}\right)}$

${\displaystyle c={\frac {S}{r}}-r}$

Во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Окружность девяти точек касается описанной окружности того же треугольника в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идёт в вершине прямого угла треугольника.

• Четырёхугольники с перпендикулярными парами элементов: с 2 перпендикулярными сторонами и с 2 перпендикулярными диагоналями,- вырождаются в прямоугольный треугольник, если длина одной нужной стороны (из их 4 сторон), лежащей вблизи прямого угла или же опирающейся концами на этот угол, стремится к нулю.

• Если в прямоугольном треугольнике провести отрезок, параллельный его гипотенузе, то он разрежет этот треугольник на подобный ему же прямоугольный треугольник и трапецию. При этом сумма углов при одном из оснований трапеции будет равна 90°, а продолжения боковых сторон трапеции пересекутся под прямым углом. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований указанной трапеции, равен полуразности оснований. Данное утверждение обобщает свойство: медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине длины гипотенузы.