Среднее геометрическое
Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:
Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным[1], поскольку среднее геометрическое двух чисел и обладает следующим свойством: , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.
Свойства
- Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
- Среднее геометрическое двух чисел является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
- Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического[2].
Среднее геометрическое взвешенное
Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как
В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.
В геометрии

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.
Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.
Обобщения
- Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных при .
- Среднее геометрическое является средним Колмогорова при .
Примечания
- «Среднее пропорциональное». — статья из Большой советской энциклопедии.
- Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923.