Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с вещественными весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$, такими что ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0}$, определяется как[1]

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)}$.

Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые ${\displaystyle x_{i}=0}$ и соответствующие веса ${\displaystyle w_{i}\leq 0}$. Поэтому, как правило, полагают, что все числа ${\displaystyle x_{i}>0}$. Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.

Если веса ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид:

${\displaystyle {\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}}$.