Среднее арифметико-геометрическое

Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ как предел последовательности ${\displaystyle \{a_{N}\}}$, ${\displaystyle \{b_{N}\}}$, где:

${\displaystyle a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}}$

${\displaystyle a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}}$

…

${\displaystyle a_{N}={\frac {a_{N-1}+b_{N-1}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{N-1}b_{N-1}}}}$

имеют при ${\displaystyle N\to +\infty }$ один и тот же предел:[1][2]

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }a_{N}=\lim _{N\to \infty }b_{N}=M(a,b)}$.

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.[3]

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — (общий) предел (убывающей) последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и (возрастающей) последовательности ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, где ${\displaystyle x_{0}=x}$, ${\displaystyle y_{0}=y}$ и ${\displaystyle z_{0}=0}$.

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}}$

${\displaystyle y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}}$

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГС, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса ${\displaystyle L}$ с полуосями ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b)}},}$

где ${\displaystyle M(x;y)}$ — АГС чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, а ${\displaystyle N(x;y)}$ — МАГС чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.[3]