Преобразование Ландена

Преобразова́ние Ла́ндена относится к эллиптическим интегралам. Имеет смысл говорить о преобразовании Ландена в узком смысле и в широком смысле. В узком смысле, о котором будет идти речь ниже, британский математик Джон Ланден (1719—1790) в 1775 году предложил[1] очень удачную замену переменной в неопределённом интеграле, определяющем значение неполного эллиптического интеграла первого рода

${\displaystyle F(\varphi ,x_{1})=F(\varphi \,|\,x_{1}^{2})=F(\sin \varphi ;x_{1})=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x_{1}^{2}\sin ^{2}\theta }}},}$

то есть в первообразной функции

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {1-x_{1}^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

Предложенная Ланденом замена переменной описывается следующей формулой:

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {\sin {2}\varphi }{x_{1}+\cos {2}\varphi }}.}$

В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\varphi }}}.}$

Параметры x и x₁ связаны зависимостями:

${\displaystyle x={\frac {{2}{\sqrt {x_{1}}}}{x_{1}+1}},}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {{2}\left(1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{x^{2}}}-1.}$

Таким образом, в результате подстановки Ландена неопределённый интеграл преобразуется в неопределённый интеграл того же вида, но с другим параметром и умноженный на некий коэффициент, зависящий от нового параметра. При последовательном применении преобразования параметр x стремится к 1, параметр x₁ к 0. Для этих крайних значений параметра величины неопределённых интегралов очевидны:

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }},}$

${\displaystyle \int {d}\theta =\theta .}$

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В вышеприведённых формулах мы использовали т. н. модуль эллиптического интеграла x (x₁). Этот модуль связан с модулярным углом и параметром эллиптического интеграла формулами

${\displaystyle \alpha }$ — модулярный угол;

${\displaystyle x=\sin \alpha }$ — модуль эллиптического интеграла;

${\displaystyle m=x^{2}=\sin ^{2}\alpha }$ — параметр эллиптического интеграла.

Легко видеть, что формулы, связывающие значения x и x₁ и углы φ и θ, для случая, когда итерации начинаются с параметров x₁ и θ, можно представить в виде:

${\displaystyle (1+\sin \alpha _{n})(1+\cos \alpha _{n+1})=2,}$

${\displaystyle \sin \alpha _{n+1}=x,}$

${\displaystyle \sin \alpha _{n}=x_{1},}$

${\displaystyle \varphi _{n}=\theta ,}$

${\displaystyle \varphi _{n+1}=\varphi ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} (\varphi _{n+1}-\varphi _{n})=\cos \alpha _{n}\operatorname {tg} \varphi _{n}.}$

Если же итерации начинаются с параметров x и φ, то формулы имеют вид:

${\displaystyle (1+\sin \alpha _{n+1})(1+\cos \alpha _{n})=2,}$

${\displaystyle \sin \alpha _{n+1}=x_{1},}$

${\displaystyle \sin \alpha _{n}=x,}$

${\displaystyle \varphi _{n}=\varphi ,}$

${\displaystyle \varphi _{n+1}=\theta ,}$

${\displaystyle \sin({2}\varphi _{n+1}-\varphi _{n})=\sin \alpha _{n}\sin \varphi _{n}.}$

Следует указать на некоторую особенность предложенной Ланденом замены переменной, то есть перехода независимой переменной от θ к φ. При изменении угла φ от 0 до π/2 угол θ терпит разрыв. Это обстоятельство необходимо учитывать при численной реализации формулы Ландена.

В широком смысле Ланденом был открыт новый способ вычисления, причём не только эллиптических функций. Его основная идея, заключающаяся в том, что вычисляемую функцию можно представить в виде такого же вида функции, но с другими параметрами, которые при рекурсии стремятся к некоторым пределам, была в дальнейшем широко использована в вычислительной математике. Укажем, что наряду с указанной Ланденом и приведенной выше формулой замены переменной интегрирования, существуют и другие, например такая:

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={(1-x_{1}^{2})}^{-1/4}{\frac {{1}+\sin \varphi }{\cos \varphi }}.}$

В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:

${\displaystyle {\frac {1+x}{2}}\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\varphi }}}.}$

Параметры x и x1 связаны зависимостями:

${\displaystyle x={\frac {{2}(1-{\sqrt {(1-x_{1}^{2})}}}{x_{1}^{2}}}-1,}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {{2}{\sqrt {x}}}{x+1}}.}$