Внеописанный четырёхугольник

Дельтоиды являются примером внеописанных четырёхугольников. Параллелограммы (которые включают квадраты, ромбы и прямоугольники) можно считать внеописанными четырёхугольниками с бесконечным радиусом вневписанной окружности, поскольку они удовлетворяют свойствам, описанным ниже, но внеописанная окружность не может касаться обеих пар продолжений сторон (ввиду их параллельности)[2]. Выпуклые четырёхугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию, всегда являются внеописанными, поскольку удовлетворяют условиям, описанным ниже для смежных сторон.

Выпуклый четырёхугольник является внеописанным тогда и только тогда, когда существует шесть пересекающихся в одной точке биссектрис. Это биссектрисы двух внутренних углов противоположных углов четырёхугольника, биссектрисы внешних углов двух других вершин и биссектрисы внешних углов в точках пересечения продолжений противоположных сторон[2].

С точки зрения вычислений, более полезно свойство, что выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является внеописанным тогда и только тогда, когда сумма двух смежных сторон равна сумме двух других сторон. Это возможно в двух случаях — либо

${\displaystyle a+b=c+d}$,

либо

${\displaystyle a+d=b+c.}$

Свойство доказано Якобом Штейнером в 1846 году[3]. В первом случае вневписанная окружность находится со стороны большего из углов при вершинах A или C, в то время как во втором случае окружность находится со стороны большего из углов при вершинах B или D. Здесь стороны четырёхугольника ABCD имеют длины a = AB, b = BC, c = CD и d = DA. Комбинируя два полученных равенства, получим, что абсолютные величины разностей противоположных сторон равны[2],

${\displaystyle |a-c|=|b-d|.}$

Это равенство тесно связано с теоремой Пито для описанных четырёхугольников, по которой суммы противоположных сторон равны.

Сравнение с описанным четырёхугольником

Несколько показателей описанных четырёхугольников (левый столбец таблицы) имеют очень похожего двойника для внеописанного четырёхугоольников (средний и правый столбец таблицы), как можно видеть в таблице ниже[2]. Так, выпуклый четырёхугольник имеет вписанную или вневписанную окружность около соответствующей вершины (зависит от столбца) тогда и только тогда, когда выполняется любое из пяти условий.

Вписанная	Вневписанная вне A или C	Вневписанная вне B или D
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{2}=R_{3}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{4}=R_{2}+R_{3}}$
${\displaystyle agh+cef=beh+dfg}$	${\displaystyle agh+beh=cef+dfg}$	${\displaystyle agh+dfg=beh+cef}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}={\frac {1}{h_{3}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{4}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{3}}}}$
${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {z}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {w}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {w}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {z}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {y}{2}}=\tan {\frac {z}{2}}\tan {\frac {w}{2}}}$
${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$	${\displaystyle R_{a}R_{b}=R_{c}R_{d}}$	${\displaystyle R_{a}R_{d}=R_{b}R_{c}}$

Обозначения в таблице следующие:

Внеописанный четырёхугольник ABCD. Дополнительные построения

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке P. R₁, R₂, R₃,R₄ — радиусы описанных окружностей для треугольников ABP, BCP, CDP, DAP

h₁, h₂, h₃, h₄ — высоты из точки P на стороны a = AB, b = BC, c = CD, d = DA соответственно в тех же треугольниках

e, f, g, h — расстояния от вершин A, B, C, D до точки P

x, y, z, w — углы ABD, ADB, BDC, DBC соответственно

R_a, R_b, R_c, R_d — радиусы окружностей, внешне касательных сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных двух сторон.

Внеописанный четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d имеет площадь

${\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Заметьте, что это та же самая формула, что и для описанного четырёхугольника, и она также вытекает тем же самым образом из соотношения Бретшнайдера.

Радиус вневписанной окружности четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой[2]

${\displaystyle r={\frac {K}{|a-c|}}={\frac {K}{|b-d|}}}$,

где K — площадь четырёхугольника. Для четырёхугольника с заданными сторонами максимален, когда четырёхугольник также является вписанным. Эти формулы объясняют, почему все параллелограммы имеют бесконечный радиус вневписанной окружности.

Если вокруг внеописанного четырёхугольника можно описать окружность, его называют внебицентральным четырёхугольником[5]. В этом случае, поскольку противоположные углы в сумме составляют 180 °, площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$,

той же самой, что и для бицентрального четырёхугольника.

Если x — расстояние между центром описанной окружности и центром вневписанной окружности, то[5]

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

где R — радиус описанной окружности, а r — радиус вневписанной окружности. Это то же самое равенство, что и в теореме Фусса для бицентрального четырёхугольника. Однако решая квадратное уравнение относительно x, нужно выбирать другой корень, не тот, что выбирается для бицентрального четырёхугольника. Таким образом, для внеописанного четырёхугольника мы имеем[5]

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

Из этой формулы следует, что

${\displaystyle x>R+r}$,

что означает, что описанная и вневписанная окружности никогда не могут пересекаться.

• Полный четырёхугольник
• Вписанный четырёхугольник

• Alexander Bogomolny. Accessed 2011-08-18 Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. — 1995.
• Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.
• Mowaffaq Hajja. A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.
• Kiran S. Kedlaya. Geometry Unbound. — 2006.
• Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one // Mathematical Communications. — 2007. — Вып. 12.