Четырёхугольник Саккери

Четырёхугольник Саккеричетырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию. Назван в честь Джироламо Саккери, который использовал его в своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен» (Euclides ab omni naevo vindicatus, впервые опубликована в 1733 году). Саккери в этой работе попытался доказать пятый постулат, используя метод «от противного».

Четырёхугольники Саккери на евклидовой, эллиптической и гиперболической плоскостях

Ранее, в конце XI века, четырёхугольник Саккери был также рассмотрен Омаром Хайямом[1].

В четырёхугольнике Саккери стороны и равны по длине и перпендикулярны к основанию . Углы при и называются верхними углами, два остальных угла — нижними.

Полезное свойство четырёхугольника Саккери заключается в том, что тип содержащей его плоскости однозначно определяется ответом на всего лишь один вопрос:

Являются ли верхние углы прямыми, тупыми или острыми?

Оказывается, когда верхние углы прямые, на плоскости выполняется пятый постулат, когда они острые, плоскость гиперболическая, а когда тупые, плоскость эллиптическая (при условии внесения некоторых дополнительных изменений в постулаты[2]).

Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию с аксиомами Евклида. Он показал это в случае тупых углов, и, как ему казалось, в случае острых тоже (что было заведомо неверно)[3].

История

Четырёхугольник Саккери был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце XI века[1]. В отличие от многих до и после него, Хайям не пытался доказать пятый постулат как таковой, он опирался на эквивалентный постулат из «принципов философа» (Аристотель):

Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии стали расходиться в направлении, в котором они ранее сходились[4].

Хайям рассмотрел все три возможности для верхних углов четырёхугольника Саккери и доказал ряд теорем. Он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основании его постулата и вывел отсюда классический постулат Евклида.

600 лет спустя Джордано Витале использовал четырёхугольник Саккери в доказательстве того, что если три точки находятся на равном расстоянии от основания и верхней стороны , то и всюду лежат на одинаковом расстоянии.

Сам Саккери в своём длинном доказательстве постулата предположил, что верхние углы острые, после чего, сам того не подозревая, вывел отсюда много теорем геометрии Лобачевского. В конце книги он совершил ошибку и пришёл к мнимому противоречию, откуда заключил, что сумел доказать пятый постулат.

Свойства

Пусть — четырёхугольник Саккери с основанием . Следующие свойства верны в любой гиперболической геометрии[5]:

  • Верхние углы ( и ) равны и являются острыми.
  •  Верхняя сторона длиннее основания.
  • Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны, перпендикулярен основанию и верхней стороне.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

Формула

В гиперболической плоскости постоянной кривизны верхняя сторона в четырехугольнике Саккери может быть выражена через боковую сторону и основание с помощью формулы

[6]

Примеры

Гиперболическая плоскость допускает замощения некоторыми четырёхугольниками Саккери:


Симметрия *3322

Симметрия *22

См. также

Примечания

  1. Boris Abramovich Rozenfelʹd. A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space (англ.). — Abe Shenitzer translation. — Springer, 1988. — P. 65. — ISBN 0-387-96458-4.
  2. Coxeter, 1998, p. 11.
  3. Faber, 1983, p. 145.
  4. Boris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, p. 467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the history of Arabic science, Routledge, ISBN 0-415-12411-5.
  5. Faber, 1983, pp. 146-147.
  6. P. Buser and H. Karcher.

Литература

  • Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (6th ed.), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
  • Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
  • M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008.
  • George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.