Ромб

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

1. Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
5. Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
6. Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии.
7. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Параллелограмм ${\displaystyle ABCD}$ является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий[2]:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны, ${\displaystyle AB=BC=CD=AD}$).
2. Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD).
3. Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

Предположим, что заранее не известно, что четырёхугольник является параллелограммом, но дано, что все его стороны равны. Тогда этот четырёхугольник есть ромб[1].

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов[3][4].

К уравнению ромба

Уравнение ромба с центром в точке ${\displaystyle \{x_{0},y_{0}\}}$ и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:

${\displaystyle {\frac {|x-x_{0}|}{a}}+{\frac {|y-y_{0}|}{b}}=1,}$

где ${\displaystyle a,b}$ — половины длин диагоналей ромба по осям ${\displaystyle X,Y}$ соответственно.

Длина стороны ромба равна ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$ Площадь ромба равна ${\displaystyle 2ab.}$ Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

${\displaystyle 2\operatorname {arctg} {\frac {b}{a}}}$

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

${\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,}$

где сторона квадрата равна ${\displaystyle a{\sqrt {2}},}$ а его диагональ равна ${\displaystyle 2a.}$ Соответственно площадь квадрата равна ${\displaystyle 2a^{2}.}$

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать как суперэллипс степени 1.

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

${\displaystyle S={\frac {AC\cdot BD}{2}}}$

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

${\displaystyle S=AB\cdot H_{AB}}$

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

${\displaystyle S=AB^{2}\cdot \sin \alpha }$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin \alpha }}}$

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде:[5]

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}$

Ромб является простой геральдической фигурой.

• 
  Червлёный ромб в серебряном поле
• 
  В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
• 
  Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
• 
  В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

• 
  Ромбический орнамент
• 
  Ромбические звёзды
• 
  Более сложный орнамент
• 
  Мозаика Пенроуза

См. другие примеры на Викискладе.

• Дельтоид
• Звезда (геометрия)
• Ромбододекаэдр
• Ромбоид

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.