Апейрогон

Апейрогон или бесконечноугольник (от др.-греч. ἄπειρος — бесконечный или безграничный и др.-греч. γωνία — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторон[1].

Два апейрогона заполняют плоскость, образуя правильное замощение с вершинной конфигурацией.

Правильный апейрогон

Правильный апейрогон имеет стороны равной длины, как и любой другой правильный многоугольник. Его символ Шлефли — {∞}, диаграмма Коксетера — Дынкина — .

Правильный апейрогон разбивает плоскость на две полуплоскости, образуя апейрогональный диэдр {∞,2}. Внутренняя часть апейрогона может быть определена путём указания направления сторон.

Евклидовы мозаики
Правильные Однородные
∞.∞ 2∞ 4.4.∞ 3.3.3.∞
{∞, 2}
 {2, ∞}
 t{2, ∞}
 sr{2, ∞}

Правильными апейрогонами можно считать прямые, состоящие из рёбер четырёх однородных мозаик и пяти мозаик, двойственных однородным, на евклидовой плоскости.

3 направления 1 направление 2 направления

Шеститреугольная мозаика
Треугольный паркет
Удлинённая треугольная мозаика
Квадратный паркет
(кадриль)
3 направления 6 направлений 1 направление 4 направления

Тетрамозаика
Разделённая треугольная мозаика
Разделённая шестиугольная мозаика
Призматическая пятиугольная мозаика
Разделённая квадратная мозаика

Неправильные апейрогоны

Изогональный апейрогон имеет вершины одного типа и чередующиеся стороны двух типов (длин).

Квазиправильный апейрогон — изогональный апейрогон с равными длинами сторон.

Изотоксальный апейрогон является двойственным по отношению к изогональному. Он имеет один тип рёбер и два типа вершин и геометрически идентичен правильному апейрогону, что можно показать чередующейся раскраской вершин в два цвета.


Правильный … …
Квазиправильный … …
Изогональный … …
Изотоксальный … …

Апейрогоны на гиперболической плоскости
Апейрогон и описанный вокруг него орицикл.

Правильные апейрогоны на гиперболической плоскости имеют кривизну, также как и многоугольники с конечным числом сторон. Вокруг апейрогона на гиперболической плоскости можно описать орицикл или эквидистанту (гиперцикл), аналогично тому, как вокруг многоугольника с конечным числом сторон может быть описана окружность.


Однородные мозаики из апейрогонов
3 4 5

{∞,3}

{∞,4}

{∞,5}

Однородные мозаики из апейрогонов (продолжение)
6 7 8 … ∞

{∞,6}

{∞,7}

{∞,8}

{∞,∞}
Правильные и однородные мозаики из апейрогонов
{∞, 3} tr{∞, 3} tr{12i, 3}

Правильный: {∞}
Квазиправильный: t{∞}
Квазиправильный: t{12i}

Примечания
  1. Coxeter, Regular polytopes, p.45

Литература

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.