Правильный многогранник

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

${\displaystyle \sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.}$

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}},}$

где ${\displaystyle h}$ принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект ${\displaystyle \delta }$ при любой вершине правильного многогранника:

${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$

По теореме Декарта, он равен ${\displaystyle 4\pi }$ делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен ${\displaystyle 4\pi }$).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .}$

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (${\displaystyle 4\pi }$ стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотое сечение.

Многогранник	Двугранный угол θ	${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}}$	Плоский угол между рёбрами при вершине	Угловой дефект (δ)	Телесный угол при вершине (Ω)		Телесный угол, стягиваемый гранью
тетраэдр	70.53°	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	60°	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)}$	${\displaystyle \approx 0.551286}$	${\displaystyle \pi }$
куб	90°	1	90°	${\displaystyle \pi \over 2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \approx 1.57080}$	${\displaystyle 2\pi \over 3}$
октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°	${\displaystyle {2\pi } \over 3}$	${\displaystyle 4\arcsin \left({1 \over 3}\right)}$	${\displaystyle \approx 1.35935}$	${\displaystyle \pi \over 2}$
додекаэдр	116.57°	${\displaystyle \varphi }$	108°	${\displaystyle \pi \over 5}$	${\displaystyle \pi -\operatorname {arctg} \left({\frac {2}{11}}\right)}$	${\displaystyle \approx 2.96174}$	${\displaystyle \pi \over 3}$
икосаэдр	138.19°	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	60°, 108°	${\displaystyle \pi \over 3}$	${\displaystyle 2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)}$	${\displaystyle \approx 2.63455}$	${\displaystyle \pi \over 5}$

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
• Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной (${\displaystyle R}$) и вписанной (${\displaystyle r}$) сфер задаются формулами:

${\displaystyle R={a \over 2}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\pi }{q}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle r={a \over 2}\cdot \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}},}$

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

${\displaystyle \rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h)}},}$

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

${\displaystyle {R \over r}=\operatorname {tg} {\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\pi }{q}}.}$

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

${\displaystyle S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{p}}.}$

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

${\displaystyle V={1 \over 3}rS.}$

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 2}}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$
куб	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 8}$
октаэдр	${\displaystyle {\sqrt {2 \over 3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}}$
додекаэдр	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\varphi }$	${\displaystyle 60{\frac {\varphi }{\xi }}}$	${\displaystyle 20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}}$
икосаэдр	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \xi \varphi }$	${\displaystyle 20{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}}$

Константы φ и ξ задаются выражениями

${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi }}.}$

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.