Опоясанный двуклинник

Если опоясанный двуклинник имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(4+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12{,}6602540a^{2},}$

${\displaystyle V\approx 3{,}77763a^{3}.}$

Опоясанный двуклинник с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты[2]

• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;0;\;2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}+{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm 2\xi$ ;\;{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}

• ${\displaystyle \left(\pm \left(1+{\sqrt {\frac {3-4\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\right);\;0;\;{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}+{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm \left(1+{\sqrt {\frac {3-4\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\right);\;-{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 2\xi$ ;\;\pm 1;\;-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm 1;\;-2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$

где ${\displaystyle \xi \approx 0{,}7671311}$ — четвёртый по величине после наибольшего[3] действительный корень уравнения

${\displaystyle 256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}+1552x^{8}-6592x^{7}+1248x^{6}+4352x^{5}-2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23=0.}$

При этом две оси симметрии многогранника будет совпадать с биссектрисами координатных углов плоскости xOy, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

• Weisstein, Eric W. Опоясанный двуклинник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Опоясанный двуклинник в базе знаний Wolfram Alpha