Осоэдр
n-угольный осоэдр — мозаика из двуугольников на сферической поверхности такая, что каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками.
| Множество правильных n-угольных осоэдров | |||
|---|---|---|---|
 Пример шестиугольного осоэдра на сфере | |||
| Тип | Регулярный многогранник или сферическая мозаика | ||
| Комбинаторика | |||
| Элементы |
|
||
| Грани | n двуугольников | ||
| Конфигурация вершины | 2n | ||
| Двойственный многогранник | диэдр | ||
| Классификация | |||
| Символ Шлефли | {2,n} | ||
| Символ Витхоффа | n | 2 2 | ||
| Диаграмма Дынкина |
    |
||
| Группа симметрии | Dnh, [2,n], (*22n), порядок 4n | ||
 Медиафайлы на Викискладе | |||
Правильный n-угольный осоэдр имеет символ Шлефли {2, n}, а каждый двуугольник имеет внутренний угол 2π/n радиан (360/n градусов[1][2].
Осоэдры как правильные многогранники
Для правильных многогранников, символ Шлефли которых равен {m, n}, число многоугольных граней можно найти по формуле:
Правильные многогранники, известные с античных времён, являются единственными многогранниками, дающими в результате деления целое число для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 приводит к тому, что многоугольные грани должны иметь по меньшей мере три стороны.
Если рассматривать многогранники как сферическую мозаику, это ограничение может быть ослаблено, поскольку двуугольники можно рассматривать как сферические двуугольные фигуры, имеющие ненулевую площадь. Допущение m = 2 порождает новый бесконечный класс правильных многогранников, то есть осоэдров.
 Правильный треугольный осоэдр, {2,3}, представленный в виде мозаики из трёх двуугольников на сфере. |
 Правильный четырёхугольный осоэдр, представленный в виде мозаики из четырёх двуугольников на сфере. |
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Рисунок |  |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 | |
| Шлефли | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | {2,9} | {2,10} | {2,11} | {2,12} | |
| Коксетер | |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
  |
|
| |
| Граней и рёбер |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| Вершин | 2 | |||||||||||
Калейдоскопическая симметрия
Двуугольные грани 2n-осоэдра , {2,2n}, представляют фундаментальные области диэдральной симметрии: Cnv, [n], (*nn), порядок 2n. Области зеркального отражения можно показать, используя поочерёдную раскраску двуугольников. Рассечения двуугольников на два сферических треугольника создают бипирамиды и определяют диэдрическую симметрию Dnh, порядок 4n.
| Симметрия | C1v | C2v | C3v | C4v | C5v | C6v |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Осоэдр | {2,2} | {2,4} | {2,6} | {2,8} | {2,10} | {2,12} |
| Фундаментальные области |  |
 |
 |
 |
 |
 |
Связь с телами Штейнмеца
Четырёхугольный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндру, пересечению двух цилиндров под прямым углом[3].
Производные многогранники
Двойственным многогранником n-угольного осоэдра {2, n} является n-угольный диэдр, {n, 2}. Многогранник {2,2} самодвойственен и является осоэдром и диэдром одновременно.
Осоэдр можно модифицировать тем же способом, что и другие многогранники, порождая усечённые варианты. Усечённый n-угольный осоэдр — это n-угольная призма.
Бесконечноугольный осоэдр
В пределе осоэдр становится бесконечноугольным и представляет собой двумерное замощение:
Осотопы
Многомерные аналоги, в общем случае, называются осотопами. Правильный осототоп с символом Шлефли {2,p,…,q} имеет две вершины и в обеих вершинах вершинной фигурой служит {p,…,q}.
Двумерный осотоп (многоугольник) {2} — это двуугольник.
Этимология
Термин «осоэдр» (hosohedron) предложен Г. С. М. Коксетером и, возможно, происходит от греческого ὅσος (осос) «сколь угодно», что указывает на возможность осоэдра иметь «сколь угодно много граней»[4].
| Симметрия: [6,2], (*622) | [6,2]+, (622) | [6,2+], (2*3) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |
 |
|
 |
|
 |
 |
 |
 | |
 |
|
|
|
|
|
|
 |
| |
| {6,2} | t{6,2} | r{6,2} | t{2,6} | {2,6} | rr{2,6} | tr{6,2} | sr{6,2} | s{2,6} | |
| Двойственные им многогранники | |||||||||
|
|
|
 |
|
|
 |
 |
 | |
| V62 | V122 | V62 | V4.4.6 | V26 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V3.3.3.3 | |
| Сферические | Евклидовы | Компактные гиперболические. |
Параком- пактные. |
Некомпактные гиперболические. | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| {2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
| *n32 мутации симметрий усечённых мозаик: n.6.6 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия *n32 [n,3] |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболическая | Паракомпактная. | Некомпактная гиперболическая | |||||||
| *232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | ||
| Усечённые фигуры |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 | |
| Конф. | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
| n-кис фигуры |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
||||
| Конф. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 | |
| Варианты симметрии *n42 усечённых мозаик: n.8.8 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия *n42 [n,4] |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболич. | Параком- пактная | |||||||
| *242 [2,4] |
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] | ||||
| Усечённые фигуры |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 | |||
| Конфиг. | 2.8.8 | 3.8.8 | 4.8.8 | 5.8.8 | 6.8.8 | 7.8.8 | 8.8.8 | ∞.8.8 | |||
| n-kis фигуры |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 | |||
| Конфиг. | V2.8.8 | V3.8.8 | V4.8.8 | V5.8.8 | V6.8.8 | V7.8.8 | V8.8.8 | V∞.8.8 | |||
| Варианты симметрии *n42 правильных мозаик {n,4} | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сферические | Евклидовы | Гиперболические мозаики | |||||
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | ...∞4 |
| Соты {p,4,4} | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Пространство | E3 | H3 | ||||
| Форма | Аффинные | Паракомпактные | Некмпактные | |||
| Название | {2,4,4} | {3,4,4} | {4,4,4} | {5,4,4} | {6,4,4} | ..{∞,4,4} |
Coxeter  |
    |
  |
 |
 |
  |
   |
| Image |  |
 |
 |
 |
 |
 |
| Cells | {2,4} |
 {3,4} |
 {4,4} |
{5,4} |
{6,4} |
{∞,4} |
См. также
Примечания
- Coxeter, 1973, p. 12.
- McMullen & Schulte, 2002, p. 161.
- Weisstein, Eric W. Steinmetz Solid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Schwartzman, 1994, p. 108–109.
Литература
- Coxeter H. S. M. . Regular Polytopes. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- McMullen, Peter; Schulte, Egon. . Abstract Regular Polytopes. 1st edition. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
- Schwartzman, Steven. . The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — ISBN 978-0-88385-511-9.