Плосконосая квадратная мозаика

Плосконосая квадратная мозаика — это полуправильное замощение плоскости. В каждой вершине сходятся три треугольника и два квадрата. Символ Шлефли мозаики — s{4,4}.

Плосконосая квадратная мозаика

Тип	Полуправильная мозаика
Конфигурация граней	3.3.4.3.4
Символ Шлефли	s{4,4} sr{4,4} или $s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}$
Символ Витхоффа	\| 4 4 2
Диаграммы Коксетера — Дынкина	или
Симметрия	p4g, [4⁺,4], (4*2)
Симметрия вращения	p4, [4,4]⁺, (442)
Двойственная мозаика	Каирская пятиугольная мозаика
Свойства	вершинно транзитивная

Конвей называл эту мозаику snub quadrille (плосконосая кадриль), поскольку мозаика строится с применением операции snub (отсечения углов) к квадратной мозаике (в терминах Конвея — quadrille).

Существует 3 правильные и 8 полуправильных мозаик на плоскости.

Однородные раскраски

Существует 2 различные однородные раскраски плосконосой квадратной мозаики. Цвета граней по индексам цвета вокруг вершины (3.3.4.3.4), 11212), 11213.

Раскраска	11212	11213
Симметрия	4*2, [4⁺,4], (p4g)	442, [4,4]⁺, (p4)
Символ Шлефли	s{4,4}	sr{4,4}
Символ Витхоффа		\| 4 4 2
Диаграммы Коксетера — Дынкина

Упаковка кругов

Плосконосую квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с пятью другими кругами упаковки (контактное число)[1].

Построение Витхоффа

Плосконосую квадратную мозаику можно построить применением операции отсечения углов к квадратной мозаике или путём частичного усечения усечённой квадратной мозаики.

Частичное усечение удаляет каждую вторую вершину, создавая треугольные грани на месте удалённых вершин и уменьшает число сторон граней наполовину. В этом случае, начиная с усечённой квадратной мозаики с двумя восьмиугольниками и одним квадратом для каждой вершины, частичное усечение превращает восьмиугольные грани в квадраты, а квадратные грани вырождаются в рёбра, в результате чего появляются 2 дополнительных треугольника на месте усечённых вершин вокруг исходного квадрата. Если исходная мозаика состоит из правильных граней, вновь образованные треугольники будут равнобедренными. Если начать с восьмиугольников, в которых чередуются длинные и короткие стороны, образуется плосконосая мозаика с равносторонними треугольными гранями.

Пример:

Частично усечённые правильные восьмиугольники	→ (Частичное усечение)	Равнобедренные треугольники (Неоднородная мозаика)
Частично усечённые неправильные восьмиугольники	→ (Частичное усечение)	Равносторонние треугольники

Связанные мозаики

Эта мозаика связана с удлинёнными треугольными мозаиками, которые тоже имеют три треугольника и два квадрата на одну вершину, но порядок этих элементов в вершинной фигуре другой. Плосконосую квадратную мозаику можно считать связанной с этой трёхцветной квадратной мозаикой, в которой красные и жёлтые квадраты повёрнуты (с увеличением размера), а синие квадраты искривляются до ромбов, а затем разбиваются на два треугольника.

Связанные многогранники и мозаики

Плосконосая квадратная мозаика подобна удлинённой треугольной мозаике с вершинной конфигурацией 3.3.3.4.4 и двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным мозаикам, в которых смешаны два типа пятиугольников[2][3]:

3.3.3.4.4	3.3.4.3.4

Связанные мозаики из треугольников и квадратов
плосконосая квадратная мозаика	2-однородные
p4g, (4*2)	p2, (2222)	cmm, (2*22)
3.3.4.3.4	(3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4)	(3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4)
Удлинённая треугольная мозаика	3- однородные
cmm, (2*22)	p2, (2222)
3.3.3.4.4	(3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4)	(3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4)

Плосконосая квадратная мозаика является третьей в последовательности многогранников с отсечёнными вершинами и мозаик с вершинной фигурой 3.3.4.3.n.

4n2 симметрии плосконосых мозаик: 3.3.4.3.n
Симметрия 4n2	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Paracomp.
Симметрия 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Плосконосые мозаики
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гиро- мозаики
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Плосконосая квадратная мозаика является третьей в последовательности многогранников с отсечёнными вершинами и мозаик с вершинной фигурой 3.3.n.3.n.

Варианты симметрии 4n2 плосконосых мозаик: 3.3.n.3.n
Симметрия 4n2	Сферияеские		Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные
Симметрия 4n2	222	322	442	552	662	772	882	∞∞2
Тела с отсечёнными вершинами
Конфиг.	3.3.2.3.2	3.3.3.3.3	3.3.4.3.4	3.3.5.3.5	3.3.6.3.6	3.3.7.3.7	3.3.8.3.8	3.3.∞.3.∞
Повёрнытые тела
Конфиг.	V3.3.2.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.5.3.5	V3.3.6.3.6	V3.3.7.3.7	V3.3.8.3.8	V3.3.∞.3.∞

Однородные мозаики на основе симметрии квадратной мозаики
Симметрия: [4,4], (*442)							[4,4]⁺, (442)	[4,4⁺], (4*2)


{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Uniform duals


V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

См. также

Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости

Примечания

Critchlow, 1987, с. 74—75.
Chavey, 1989, с. 147—165.
Uniform Tilings. Steven Dutch, Natural and Applied Sciences, University of Wisconsin - Green Bay (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 20 декабря 2017. Архивировано 9 сентября 2006 года.

Литература

Chavey D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
Klitzing, Richard «2D Euclidean tilings s4s4s — snasquat — O10»
Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 36. — ISBN 0-486-23729-X.
Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings). — ISBN 0-7167-1193-1.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 8. — ISBN 0-500-34033-1.
Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 38. — ISBN 0-486-23729-X.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Semiregular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_3252db9339bda69e-1] Critchlow, 1987, с. 74—75.

[_4bb990620b0ef4ea-2] Chavey, 1989, с. 147—165.

[3] Uniform Tilings. Steven Dutch, Natural and Applied Sciences, University of Wisconsin - Green Bay (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 20 декабря 2017. Архивировано 9 сентября 2006 года.