Тришестиугольная мозаика

Тришестиугольная мозаика — это одна из 11 однородных мозаик на евклидовой плоскости из правильных многоугольников[1]. Мозаика состоит из правильных треугольников и правильных шестиугольников, расположенных так, что каждый шестиугольник окружён треугольниками, и наоборот. Название мозаики вызвано тем фактом, что она комбинирует правильную шестиугольную мозаику и правильную треугольную мозаику. Два шестиугольника и два треугольника чередуются вокруг каждой вершины, а рёбра образуют бесконечную конфигурацию прямых. Двойственная мозаика — ромбическая[2].

Тришестиугольная мозаика
Типполуправильная мозаика
Конфигурация
вершины
(3.6)2
Символ Шлефлиr{6,3} или
h2{6,3}
Символ
Витхоффа		2 | 6 3
3 3 | 3
Диаграмма
Коксетера — Дынкина
=
Симметрииp6m, [6,3], (*632)
Симметрии вращенияp6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Обозначение БауэрсаThat
Двойственные
соты		ромбическая
мозаика
Свойствавершинно транзитивная
рёберно транзитивная

Мозаика и её место в классификации однородных мозаик были приведены Иоганном Кеплером ещё в 1619 в его книге Harmonices Mundi[3]. Узор давно использовался в японском лозоплетении, где он назывался кагомэ. Японский термин для этого узора был позаимствован физиками, где он получил название решётка кагомэ. Узор встречается в кристаллических структурах некоторых минералов. Конвей использовал название hexadeltille (шести-дельта-мозаика), скомбинировав части слов hex-/deltа/tille[4].

Кагомэ
Японская корзина с узором кагомэ

Кагомэ (яп. 籠目) — это традиционный японский узор плетения бамбука. Название состоит из слов каго (корзина) и мэ (глаз), последнее относится к отверстиям в бамбуковой корзине.

Детальный вид плетения кагомэ

Кагомэ представляет собой переплетённую конфигурацию прутьев, образующая узор тришестиугольной мозаики. Плетение даёт кагоме симметрию хиральной группы обоев, группы p6.

Решётка кагомэ

Термин решётка кагомэ ввёл японский физик, иностранного члена РАН[5] Кодзи Фусими. Термин впервые появился в статье 1951, написанной Иширо Сёдзи под руководством Фусими[6]. Решётка кагомэ в этом смысле состоит из вершин и рёбер тришестиугольной мозаики. Вопреки названию, эти пересечения не образуют математическую решётку.

Связанная трёхмерная структура, образованная вершинами и рёбрами четвертькубических сот, заполняющих пространство правильными тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами, называется гиперрешёткой кагомэ [7]. Она представляется вершинами и рёбрами четвертькубических сот, заполняющих пространство тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами. Структура содержит четыре множества параллельных плоскостей, и каждая плоскость является двумерной решёткой кагомэ. Другое представление в трёхмерном пространстве имеет параллельные уровни двумерных решёток и называется орторомбическая решётка кагомэ[7]. Тришестиугольные призматические соты представляют рёбра и вершины этой решётки.

Некоторые минералы, а именно ярозит и гербертсмитит, содержат двумерные решётки или трёхмерные решётки кагомэ, образованные из атомов в кристаллической структуре. Эти минералы показывают физические свойства, связанные с магнитами с геометрической фрустрацией. Например, распределение спинов магнитных ионов в Co3V2O8 располагается в виде решётки кагомэ и показывает удивительное магнитное поведение при низких температурах[8]. Термин имеет сейчас широкое распространение в научной литературе, особенно в теоретическом изучении магнитных свойств теоретической решётки кагомэ.

Симметрия
Треугольные 30-60-90 фундаментальные области симметрии p6m (*632)

Тришестиугольная мозаика имеет символ Шлефли r{6,3} и диаграмму Коксетера — Дынкина , символизирующие факт, что мозаика является полноусечённой шестиугольной мозаикой, {6,3}. Её симметрии можно описать группой обоев p6mm, (*632)[9]. Мозаика может быть получена построением Витхоффа из фундаментальных областей отражений этой группы. Тришестиугольная мозаика является квазиправильной мозаикой, чередующей два типа многоугольников и имеющей конфигурацию вершины (3.6)2. Мозаика является также однородной мозаикой, одной из восьми, полученных из правильной шестиугольной мозаики.

Однородные раскраски

Существует две различные однородные раскраски тришестиугольной мозаики. Эти две раскраски, если указать индексы цветов для 4 граней вокруг вершины (3.6.3.6), имеют наборы индексов 1212 и 1232[10]. Вторая раскраска называется скошенной шестиугольной мозаикой, h2{6,3}, с двумя цветами треугольников из симметрии (*333) группы обоев p3m1.

Симметрия p6m, (*632) p3m, (*333)
Раскраска
фундаментальная
область
символ
Витхоффа		 2 | 6 3 3 3 | 3
диаграмма
Коксетера
— Дынкина		 =
символ
Шлефли		 r{6,3} r{3[3]} = h2{6,3}

Топологически эквивалентные мозаики

Тришестиугольная мозаика может быть геометрически искривлена в топологически эквивалентные мозаики с меньшей степенью симметрии[10]. В этих вариантах мозаики рёбра не обязательно являются отрезками (могут быть кривыми).

p3m1, (*333) p3, (333) p31m, (3*3)

Связанные квазирегулярные мозаики

Тришестиугольная мозаика присутствует в последовательности симметрий квазирегулярных мозаик с конфигурациями вершин (3.n)2, которая начинается с мозаик на сфере, идёт к евклидовой плоскости и переходит в гипеболическую плоскость. С орбифолдной нотацией симметрии *n32 все эти мозаики создаются построением Витхоффа с фундаментальной областью симметрии и генераторной точкой в вершине области с прямым углом[11][12].

*n32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.n)2

Построение		 Сферическая Евклидова Гиперболическая
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Квазирегулярные
фигуры
Вершина (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.∞)2

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 2 правильных комплексных бесконечноугольника, имеющие те же вершины, что и тришестиугольная мозаика. Правильные комплексные бесконечноугольники имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут иметь 2 и более вершин. Правильные бесконечноугольники (апейрогоны) p{q}r имеют ограничивающее равенство: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин, расположенных как у правильного многоугольника, а вершинные фигуры r-угольны[13].

Первый бесконечноугольник состоит из треугольных рёбер, по два треугольника вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные рёбра, по два шестиугольника вокруг каждой вершины.

3{12}2 or 6{6}2 or

См. также

Примечания
  1. Grünbaum, Shephard, 1987. См., в частности, теорему 2.1.3 на стр. 59 (классификацию однородных мозаик), рисунок 2.1.5 на стр.63 (иллюстрация этой мозаики), теорему 2.9.1 на стр. 103 (классификация раскрашенных мозаик), рисунок 2.9.2 на стр. 105 (иллюстрация раскрашенных мозаик), рисунок 2.5.3(d) на стр. 83 (топологически эквивалентная звёздчатая мозаика) и упражнение 4.1.3 на стр. 171 (топологическая эквивалентность тришестиугольной и двутреугольной мозаик).
  2. Williams, 1979, с. 38.
  3. Kepler, 1997, с. 104–105.
  4. Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008, с. 288.
  5. Фусими Кодзи. | ИС АРАН
  6. Mekata, 2003, с. 12–13.
  7. Lawler, Kee, Kim, Vishwanath, 2008.
  8. Yen, Chaudhury, Galstyan и др., 2008, с. 1487–1489.
  9. Steurer, Deloudi, 2009, с. 20.
  10. Grünbaum, Shephard, 1987.
  11. Coxeter, 1973.
  12. Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson
  13. Coxeter, 1991, с. 111-112, 136.

Литература
  • Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 32. — ISBN 0-486-23729-X.
  • Branko Grünbaum, Shephard G. C. Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
  • Johannes Kepler. The Harmony of the World by Johannes Kepler / Aiton E. J., Duncan A. M., Field J. V.. — American Philosophical Society, 1997. — Т. 209. — С. 104–105. — (Memoirs of the American Philosophical Society). — ISBN 9780871692092.
  • Coxeter H. S. M.D. Regular Complex Polytopes. — 2nd. — New York, Port Chester, Melburne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. — С. 111-112, 136. — ISBN 0-521-39490-2.
  • Coxeter H. S. M.D. Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction // Regular Polytopes. — Third edition. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings; Euclidean plane tessellations // The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — С. 288. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Mamoru Mekata. Kagome: The story of the basketweave lattice // Physics Today. — AIP Publishing, 2003. — Февраль (т. 56, вып. 2). — С. 12–13. — doi:10.1063/1.1564329. — .
  • Michael J. Lawler, Hae-Young Kee, Yong Baek Kim, Ashvin Vishwanath. Topological spin liquid on the hyperkagome lattice of Na4Ir3O8 // Physical Review Letters. — 2008. — Июнь (т. 100, вып. 22). — doi:10.1103/physrevlett.100.227201. — . — arXiv:0705.0990.
  • Yen F., Chaudhury R. P., Galstyan E., Lorenz B., Wang Y. Q., Sun Y. Y., Chu C. W. Magnetic phase diagrams of the Kagome staircase compound Co3V2O8 // Physica B: Condensed Matter. — 2008. — Т. 403. — С. 1487–1489. — doi:10.1016/j.physb.2007.10.334. — . — arXiv:0710.1009.
  • Dale Seymour, Jill Britton. Introduction to Tessellations. — 1989. — С. 50–56. — ISBN 978-0866514613.
  • Walter Steurer, Sofia Deloudi. Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures. — Springer, 2009. — Т. 126. — С. 20. — (Springer Series in Materials Science). — ISBN 9783642018992.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.