Семиугольная мозаика
Семиугольная мозаика — правильная мозаика на гиперболической плоскости. Она представляется cимволом Шлефли {7,3} и имеет три правильных семиугольника в каждой вершине.
| Семиугольная мозаика | |
|---|---|
 | |
| Тип | Гиперболическая правильная мозаика |
| Вершинная фигура | 73 |
| Символ Шлефли | {7,3} |
| Символ Витхоффа | 7 2 |
| Диаграмма Коксетера |     |
| Группа симметрии | [7,3], (*732) |
| Двойственный многогранник | Треугольная мозаика порядка 7 |
| Свойства | Вершинно транзитивна, рёберно транзитивна, транзитивна по граням |
Связанные многогранники и мозаики
Эта мозаика имеет топологическую связь с правильными многогранниками как член последовательности правильных многогранников с cимволом Шлефли {n,3}.
| Сферические | Евклидовы | Компактные гиперболические. |
Параком- пактные. |
Некомпактные гиперболические. | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| {2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
Из построения Витхоффа следует, что существует восемь гиперболических однородных мозаик, базирующихся на правильной семиугольной мозаике.
Если раскрасить в мозаике красным исходные грани, жёлтым исходные вершины, а синим исходные рёбра, имеется 8 форм.
| Однородные семиугольные/треугольные мозаики | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [7,3], (*732) | [7,3]+, (732) | |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
 | |||
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 | |||
| {7,3} | t{7,3} | r{7,3} | 2t{7,3}=t{3,7} | 2r{7,3}={3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | |||
| Однородные двойственные мозаики | ||||||||||
 |
|
|
|
|
|
|
 | |||
|
 |
 |
 |
|
 |
 |
 | |||
| V73 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V37 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 | |||
Поверхности Гурвица
Группа симметрии мозаики является группой треугольника (2,3,7), и фундаментальной областью для этого действия является треугольник Шварца (2,3,7). Это наименьший гиперболический треугольник Шварца, а потому, по теореме Гурвица об автоморфизмах, мозаика является универсальной мозаикой, покрывающей все поверхности Гурвица (римановы поверхности с максимальной группой симметрии), давая мозаику семиугольниками, группа симметрии которой равна группе симметрии римановой поверхности. Наименьшей поверхностью Гурвица является квартика Клейна (род 3, группа автоморфизма имеет порядок 168) и порождённая мозаика имеет 24 семиугольника, имеющие общие 56 вершин.
Двойственная треугольная мозаика порядка 7 имеет ту же самую группу симметрии и она задаёт триангуляции поверхности Гурвица.
См. также
- Шестиугольный паркет
- Мозаики из правильных многоугольников
- Список выпуклых однородных мозаик
- Список правильных многогранников и соединений
Примечания
Литература
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
- H.S.M. Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hyperbolic tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Poincaré hyperbolic disk (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch