Ромбическая мозаика

Ромбическая мозаика[1], кантующиеся блоки[2], обратимые кубы или кубическая решётка — мозаика одинаковых ромбов с углом 60° на евклидовой плоскости. Каждый ромб имеет два угла 60° и два 120°. Такие ромбы иногда называют диамондами. Множества из трёх ромбов соприкасаются вершинами с углом 120°, а множества из шести — вершинами с углом 60°.

Ромбическая мозаика
Типмозаика Лавеса
Диаграмма Коксетера
Граниромбы 60°–120°
Конфигурация гранейV3.6.3.6
Группа симметрииp6m, [6,3], *632
p3m1, [3[3]], *333
Группа вращенияp6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Двойственнаятришестиугольная мозаика
Свойстварёберно транзитивная
грань-транзитивная

Свойства
Две шестиугольные мозаики с красными и синими рёбрами в ромбической мозаике
Четыре шестиугольные мозаики с красными, зелёными, синими и пурпурными рёбрами в ромбической мозаике[3]

Ромбическую мозаику можно рассматривать как разделённую шестиугольную мозаику, в которой каждый шестиугольник разделён на три ромба, имеющих общую вершину в центре шестиугольника. Такое деление представляет правильную соединённую мозаику. Её можно рассматривать также как разделение четырёх шестиугольных мозаик, в которых шестиугольники разделены на 12 ромбов.

Диагонали ромба относятся как 1:√3. Ромбическая мозаика является двойственной тригексагональной мозаике или решётке кагоме. Как двойственная мозаика однородной мозаики она является одной из одиннадцати возможных мозаик Лавеса, и её вершинная конфигурация обозначается как [3.6.3.6][4].

Мозаика является также одним из 56 возможных изоэдральных замощений четырёхугольниками[5] и одной из восьми замощений плоскости, в которой любое ребро лежит на оси симметрии мозаики[6].

Ромбическая мозаика поверх двойственной ей тригексагональной мозаики

Можно вложить ромбическую мозаику в подмножество трёхмерной целочисленной решётки таким образом, что две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие точки решётки находятся на единичном расстоянии друг от друга. Более строго, когда число рёбер в кратчайшем пути между двумя вершинами мозаики равно расстоянию городских кварталов между соответствующих точек решётки. Таким образом, ромбическую мозаику можно рассматривать как пример бесконечного графа единичных расстояний и частичного куба[7].

Применение в искусстве

Ромбическую мозаику можно интерпретировать как изометрическую проекцию множества кубов двумя различными путями, которые представляют обратимые фигуры, связанные с кубом Некера. Это явление известно как иллюзия «обратимых кубов»[8].

В ксилографиях Метаморфозы I, Метаморфозы II и Метаморфозы III Эшер использует эту интерпретацию мозаики как путь преобразования из двумерных в трёхмерные формы[9]. В другой его работе, Цикл (1938) , Эшер играет со внутренним противоречием между двумерностью и трёхмерностью этой мозаики — на рисунке нарисованы здания, которые имеют большие кубические блоки в качестве архитектурных элементов и внутренний дворик наверху, замощённый ромбической мозаикой. Человеческие фигурки, спускающиеся из дворика вниз по кубам, становятся стилизованными и плоскими[10]. Эти работы используют только одну трёхмерную интерпретацию мозаики, но в картине Выпуклый и вогнутый Эшер экспериментирует с обратимыми фигурами и включает изображение обратимых кубов на флаге[11].

Ромбическая мозаика пола на острове Дилос
Ромбическая мозаика на полу Сиенского собора
Не выраженная явно ромбическая мозаика в английской геральдике — с герба Geal/e

Ромбическая мозаика используется также для паркета[12] и как плитка для пола или стен, иногда с изменением формы ромбов[13] Ромбический рисунок обнаруживается на древнем мозаичном полу в греческом Дилосе[14] и на итальянском полу 11-го столетия[15], хотя плитка в мозаике Сиенского собора более позднего производства[16]. Стёганый материал, известен с 1850-х годов как узор «кувыркающихся блоков», что выражает визуальный диссонанс, вызванный двоякой трёхмерной интерпретацией[2][15][17]. Этот узор имеет много других названий, например, небесная лестница и ящик Пандоры[17]. Считается, что этот узор использовался в качестве сигнала на подпольной железной дороге — когда рабы видели его повешенным на ограде, они собирали свои пожитки и скрывались[18]. В этих декоративных узорах могут использоваться ромбы различных цветов, но обычно используются три оттенка, более светлые ромбы с горизонтальными длинными диагоналями и более тёмные в других двух направлениях, что усиливает их эффект трёхмерности. Существует одно известное присутствие ромбической и тришестиугольной мозаик в английской геральдике — на гербе армии Geal/e[19].

Топологически эквивалентные мозаики

Ромбическая мозаика иногда осуществляется с меньшей степенью симметрии. Например, следующие два варианта. Иногда эти варианты называются кубической мозаикой за иллюзию трёхмерных сложенных кубиков, видимых под углом.

Другие приложения

Ромбическую мозаику можно рассматривать как результат наложения двух различных шестиугольных мозаик, сдвинутых так, что вершины одной мозаики оказываются в центре шестиугольников другой мозаики. В таком виде ромбическая мозаика может быть использована для создания блочного клеточного автомата, в котором ячейками автомата являются ромбы мозаики, а блоками в чередующихся шагах автомата служат шестиугольники двух мозаик. В этом контексте автомат называется «полем Q*bert», по названию видеоигры Q*bert, в которой игровое поле выглядит как пирамида из кубов. Поле Q*bert можно использовать для поддержки универсальной системы путём имитации бильярдного компьютера[20].

В физике конденсированного состояния ромбическая мозаика известна как кубическая решётка или двойственная решётка кагоме. Она является одной из нескольких повторяющихся структур, использовавшихся для изучения модели Изинга и связанных систем взаимодействия спинов в двухатомных кристаллах[21], а также изучалась в теории перколяции[22].

Симметрия

Ромбическая мозаика имеет *632 симметрий, но вершины можно выкрасить в чередующиеся цвета, что приводит к *333 симметриям.

Рисунок
(2 colors)
(3 colors)
Симметрия p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333)
Коксетер =

Связанные многогранники и мозаики

Ромбическая мозаика является двойственной тригексагональной мозаике, а потому принадлежит множеству мозаик, однородных двойственным. Она является также частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с группой симметрий Коксетера [n,3], которая начинается с куба, который можно рассматривать как ромбический шестигранник, а ромбами в нём служат квадраты. n-ый элемент этой последовательности имеет конфигурацию граней V3.n.3.n.

Симметрии двойственных двойственных квазиправильных мозаик: V(3.n)2
Сферические Евклидовы Гиперболические
*n32 *332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Мозаика
Конф. V(3.3)2 V(3.4)2 V(3.5)2 V(3.6)2 V(3.7)2 V(3.8)2 V(3.∞)2

Ромбическая мозаика является одним из многих способов замощения плоскости ромбами. Другие включают

плоскую версию квадратного паркета (с параллельным переносом)
мозаику, использованную в схеме жёсткого складывания Миура-ори (чередующиеся параллельные переносы и отражения)
мозаику Пенроуза, которая использует два вида ромбов с острыми углами 36° и 72° апериодично, а также другие апериодичные мозаики

К ним примыкает и мозаика «Сфинкс», которая подобно ромбической мозаике базируется на шестиугольной мозаике.

См. также

Примечания
  1. Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008, с. 288.
  2. Smith, 2002.
  3. Guy, Woodrow, 1996, с. 79.
  4. Grünbaum, Shephard, 1987.
  5. Grünbaum, Shephard, 1987, с. 477, Рис. 9.1.2, Мозаика P4-42.
  6. Kirby, Umble, 2011, с. 283–289.
  7. Deza, Grishukhin, Shtogrin, 2004, с. 150.
  8. Warren, 1919, с. 262.
  9. Kaplan, 2008, с. 39–46.
  10. Escher, 2001, с. 29–30.
  11. De May, 2003, с. 130–141.
  12. Schleining, O'Rourke, 2003, с. 58.
  13. Tessellation Tango, The Mathematical Tourist, Drexel University, retrieved 2012-05-23.
  14. Dunbabin, 1999, с. 32.
  15. Tatem, 2010, с. 115.
  16. Wallis, 1902, с. xxv.
  17. Fowler, 2008.
  18. Tobin, Dobard, 2000, с. 81.
  19. Aux armes: symbolism, Symbolism in arms, Pleiade, retrieved 2013-04-17.
  20. The Q*Bert neighbourhood, Tim Tyler.
  21. Fisher, 1959, с. 969–981.
  22. Yonezawa, Sakamoto, Hori, 1989, с. 636–649.

Литература
  • , с. 29–30, ISBN 9783822858646, <https://books.google.com/books?id=lq-EZiRdPswC&pg=PR1>
  • Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. The Lighter Side of Mathematics. — The Mathematical Association of America, 1996. — С. 79, Figure 10. — (Spectrum). — ISBN 13: 978-0883855164, 10: 088385516X.
  • Howard Crosby Warren. Human psychology. — Houghton Mifflin, 1919. — С. 262.
  • John Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — AK Peters, 2008. — С. 288. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.. Section 2.7, Tilings with regular vertices, pp. 95-98.
  • Matthew Kirby, Ronald Umble. Edge tessellations and stamp folding puzzles // Mathematics Magazine. — 2011. — Т. 84, вып. 4. — С. 283–289. — doi:10.4169/math.mag.84.4.283. — arXiv:0908.3257.
  • Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Mikhail Shtogrin. Scale-isometric polytopal graphs in hypercubes and cubic lattices: Polytopes in hypercubes and Zn. — London: Imperial College Press, 2004. — С. 150. — ISBN 1-86094-421-3. — doi:10.1142/9781860945489.
  • Craig S. Kaplan. Bridges 2008: Mathematical Connections in Art, Music and Science. — 2008. — С. 39–46.
  • Jos De May. M. C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration / D. Schattschneider, M. Emmer. — Springer, 2003. — С. 130–141.
  • Michael E. Fisher. Transformations of Ising models // Physical Review. — 1959. — Т. 113, вып. 4. — С. 969–981. — doi:10.1103/PhysRev.113.969.
  • Fumiko Yonezawa, Shoichi Sakamoto, Motoo Hori. Percolation in two-dimensional lattices. I. A technique for the estimation of thresholds // Phys. Rev. B. — 1989. — Т. 40, вып. 1. — С. 636–649. — doi:10.1103/PhysRevB.40.636.
  • Lon Schleining, Randy 'Rourke. Treasure Chests: The Legacy of Extraordinary Boxes. — Taunton Press, 2003. — С. 58. — ISBN 9781561586516.
  • Katherine M. D. Dunbabin. Mosaics of the Greek and Roman World. — Cambridge University Press, 1999. — С. 32. — ISBN 9780521002301.
  • Mary Tatem. Quilt of Joy: Stories of Hope from the Patchwork Life. — Revell, 2010. — С. 115. — ISBN 9780800733643.
  • Henry Wallis. Italian ceramic art. — Bernard Quaritch, 1902. — С. xxv.
  • Barbara Smith. Tumbling Blocks: New Quilts from an Old Favorite. — Collector Books, 2002. — ISBN 9781574327892.
  • Earlene Fowler. Tumbling Blocks. — Penguin, 2008. — ISBN 9780425221235.. This is a mystery novel, but it also includes a brief description of the tumbling blocks quilt pattern in its front matter.
  • Jacqueline L. Tobin, Raymond G. Dobard. Hidden in Plain View: A Secret Story of Quilts and the Underground Railroad. — Random House Digital, Inc., 2000. — С. 81. — ISBN 9780385497671.
  • Maurits Cornelis Escher. M.C. Escher, the Graphic Work. — Taschen, 2001. — С. 29–30. — ISBN 9783822858646.

Литература для дополнительного чтения
  • Keith Critchlow, Order in Space: A design source book, 1970, p.77-76, pattern 1
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.