Список плоских групп симметрии

В статье суммируется информация о классах дискретных групп симметрии евклидовой плоскости. Группы симметрии, приведённые здесь, именуются по трём схемам именования: международная нотация, орбифолдная нотация и нотация Коксетера. Существует три вида групп симметрии на плоскости:

Точечные группы симметрии

На плоскости имеется точка, инвариантная относительно каждого преобразования. Существует два бесконечных семейства дискретных двумерных точечных групп. Группы определяются параметром n, равным порядку подгруппы вращений. Также параметр n равен показателю группы.

Семейство Межд.
(орбифолд)
Шёнфлиса Геом. [1]
Коксетер
Порядок Примеры
Циклические группы n
(n•)
Cn n
[n]+
n
C1, [ ]+ (•)

C2, [2]+ (2•)

C3, [3]+ (3•)

C4, [4]+ (4•)

C5, [5]+ (5•)

C6, [6]+ (6•)
Диэдральные группы nm
(*n•)
Dn n
[n]
2n
D1, [ ] (*•)

D2, [2] (*2•)

D3, [3] (*3•)

D4, [4] (*4•)

D5, [5] (*5•)

D6, [6] (*6•)

Группа бордюров

На плоскости имеется прямая, которая переходит в себя при каждом преобразовании. При этом отдельные точки этой прямой могут не оставаться неподвижными.

7 групп бордюров, двумерных рёберных групп. Символы Шёнфлиса даны как бесконечные пределы 7 диэдральных групп. Жёлтые области представляют бесконечные фундаментальные области для каждого бордюра.

[1,∞],
IUC
(орбифолд)
Геом. Шёнфлис Коксетер Фундаментальная
область
Пример
p1
(∞•)
p1C[1,∞]+

p1m1
(*∞•)
p1C∞v[1,∞]

[2,∞+],
IUC
(Орбифолд)
Геом. Шёнфлис Коксетер Фундаментальная
область
Пример
p11g
(∞×)
p.g1S2∞[2+,∞+]

p11m
(∞*)
p. 1C∞h[2,∞+]

[2,∞],
IUC
(Орбифолд)
Геом. Шёнфлис Коксетер Фундаментальная
область
Пример
p2
(22∞)
p2D[2,∞]+

p2mg
(2*∞)
p2gD∞d[2+,∞]

p2mm
(*22∞)
p2D∞h[2,∞]

Группы обоев

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, упорядоченные по международной нотации, орбифолдной нотации и нотации Коксетера и классифицированы 5 решётками Браве на плоскости: квадратной, скошенной (параллелограммной), шестиугольной (ромбы с углами 60 градусов), прямоугольной и ромбической.

Группы p1 и p2 с зеркальной симметрией встречаются во всех классах. Связанная чистая группа Коксетера отражений дана для всех классов, за исключением косых.

Квадрат
[4,4],
IUC
(Орб.)
Геом.
Коксетер Фундаментальная
область
p1
(°)
p1
p2
(2222)
p2
[4,1+,4]+

[1+,4,4,1+]+
pgg
(22×)
pg2g
[4+,4+]
pmm
(*2222)
p2
[4,1+,4]

[1+,4,4,1+]
cmm
(2*22)
c2
[(4,4,2+)]
p4
(442)
p4
[4,4]+
p4g
(4*2)
pg4
[4+,4]
p4m
(*442)
p4
[4,4]
Прямоугольный
[∞h,2,∞v],
IUC
(Orb.)
Геом.
Коксетер Фундаментальная
область
p1
(°)
p1
[∞+,2,∞+]
p2
(2222)
p2
[∞,2,∞]+
pg(h)
(××)
pg1
h: [∞+,(2,∞)+]
pg(v)
(××)
pg1
v: [(∞,2)+,∞+]
pgm
(22*)
pg2
h: [(∞,2)+,∞]
pmg
(22*)
pg2
v: [∞,(2,∞)+]
pm(h)
(**)
p1
h: [∞+,2,∞]
pm(v)
(**)
p1
v: [∞,2,∞+]
pmm
(*2222)
p2
[∞,2,∞]
Ромбический
[∞h,2+,∞v],
IUC
(Orb.)
Геом.
Коксетер Фундаментальная
область
p1
(°)
p1
[∞+,2+,∞+]
p2
(2222)
p2
[∞,2+,∞]+
cm(h)
(*×)
c1
h: [∞+,2+,∞]
cm(v)
(*×)
c1
v: [∞,2+,∞+]
pgg
(22×)
pg2g
[((∞,2)+)[2]]
cmm
(2*22)
c2
[∞,2+,∞]
Параллелограммный (косой)
p1
(°)
p1
p2
(2222)
p2
Шестиугольная/Треугольная
[6,3], / [3[3]],
p1
(°)
p1
p2
(2222)
p2
[6,3]Δ
cmm
(2*22)
c2
[6,3]
p3
(333)
p3
[1+,6,3+]

[3[3]]+
p3m1
(*333)
p3
[1+,6,3]

[3[3]]
p31m
(3*3)
h3
[6,3+]
p6
(632)
p6
[6,3]+
p6m
(*632)
p6
[6,3]

Взаимосвязь подгрупп обоев

В приведенной ниже таблице на пересечении строки, соответствующей группе , и столбца, соответствующего группе , находится минимальный индекс подгруппы , изоморфной . На диагонали находится минимальный индекс собственной подгруппы, изоморфной объемлющей группе.

Взаимосвязь подгрупп 17-и групп обоев [2]
o2222××**22×22**22222*224424*2*442333*3333*3632*632
p1p2pgpmcmpggpmgpmmcmmp4p4gp4mp3p3m1p31mp6p6m
op1 2
2222p 222
××pg 22
**pm 2222
cm 2223
22×pgg 4223
22*pmg 4222423
*2222pmm 424244222
2*22cmm 424422224
442p4 422
4*2p4g 84484244229
*442p4m 848444422222
333p3 33
*333p3m1 6663243
3*3p31m 6663234
632p6 6324
*632p6m 12612126666342223

См. также

Примечания

  1. Hestenes, Holt, 2007.
  2. H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. Berlin:Springer, 1972. § 4.6, Table 4

Литература

  • D. Hestenes, J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics.. — 2007. Т. 48, 023514.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — A.K. Peters, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. (Orbifold notation for polyhedra, Euclidean and hyperbolic tilings)
  • John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry. — Natick, MA: A K Peters, Ltd., 2003. — ISBN 978-1-56881-134-5.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9.
  • N.W. Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.