Список плоских групп симметрии

На плоскости имеется точка, инвариантная относительно каждого преобразования. Существует два бесконечных семейства дискретных двумерных точечных групп. Группы определяются параметром n, равным порядку подгруппы вращений. Также параметр n равен показателю группы.

Семейство	Межд. (орбифолд)	Шёнфлиса	Геом. [1] Коксетер	Порядок	Примеры
Циклические группы	n (n•)	Cn	n [n]+	n	C1, [ ]+ (•)	C2, [2]+ (2•)	C3, [3]+ (3•)	C4, [4]+ (4•)	C5, [5]+ (5•)	C6, [6]+ (6•)
Диэдральные группы	nm (*n•)	Dn	n [n]	2n	D1, [ ] (*•)	D2, [2] (*2•)	D3, [3] (*3•)	D4, [4] (*4•)	D5, [5] (*5•)	D6, [6] (*6•)

На плоскости имеется прямая, которая переходит в себя при каждом преобразовании. При этом отдельные точки этой прямой могут не оставаться неподвижными.

7 групп бордюров, двумерных рёберных групп. Символы Шёнфлиса даны как бесконечные пределы 7 диэдральных групп. Жёлтые области представляют бесконечные фундаментальные области для каждого бордюра.

[1,∞],

IUC (орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p1 (∞•)	p1	C∞	[1,∞]+
p1m1 (*∞•)	p1	C∞v	[1,∞]

[2,∞⁺],

IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p11g (∞×)	p.g1	S2∞	[2+,∞+]
p11m (∞*)	p. 1	C∞h	[2,∞+]

[2,∞],

IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p2 (22∞)	p2	D∞	[2,∞]+
p2mg (2*∞)	p2g	D∞d	[2+,∞]
p2mm (*22∞)	p2	D∞h	[2,∞]

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, упорядоченные по международной нотации, орбифолдной нотации и нотации Коксетера и классифицированы 5 решётками Браве на плоскости: квадратной, скошенной (параллелограммной), шестиугольной (ромбы с углами 60 градусов), прямоугольной и ромбической.

Группы p1 и p2 с зеркальной симметрией встречаются во всех классах. Связанная чистая группа Коксетера отражений дана для всех классов, за исключением косых.

Квадрат [4,4], IUC (Орб.) Геом. Коксетер Фундаментальная область p1 (°) p1 p2 (2222) p2 [4,1+,4]+ [1+,4,4,1+]+ pgg (22×) pg2g [4+,4+] pmm (*2222) p2 [4,1+,4] [1+,4,4,1+] cmm (2*22) c2 [(4,4,2+)] p4 (442) p4 [4,4]+ p4g (4*2) pg4 [4+,4] p4m (*442) p4 [4,4]

Прямоугольный [∞h,2,∞v], IUC (Orb.) Геом. Коксетер Фундаментальная область p1 (°) p1 [∞+,2,∞+] p2 (2222) p2 [∞,2,∞]+ pg(h) (××) pg1 h: [∞+,(2,∞)+] pg(v) (××) pg1 v: [(∞,2)+,∞+] pgm (22*) pg2 h: [(∞,2)+,∞] pmg (22*) pg2 v: [∞,(2,∞)+] pm(h) (**) p1 h: [∞+,2,∞] pm(v) (**) p1 v: [∞,2,∞+] pmm (*2222) p2 [∞,2,∞]

Ромбический [∞h,2+,∞v], IUC (Orb.) Геом. Коксетер Фундаментальная область p1 (°) p1 [∞+,2+,∞+] p2 (2222) p2 [∞,2+,∞]+ cm(h) (*×) c1 h: [∞+,2+,∞] cm(v) (*×) c1 v: [∞,2+,∞+] pgg (22×) pg2g [((∞,2)+)[2]] cmm (2*22) c2 [∞,2+,∞] Параллелограммный (косой) p1 (°) p1 p2 (2222) p2

Шестиугольная/Треугольная [6,3], / [3[3]], p1 (°) p1 p2 (2222) p2 [6,3]Δ cmm (2*22) c2 [6,3]⅄ p3 (333) p3 [1+,6,3+] [3[3]]+ p3m1 (*333) p3 [1+,6,3] [3[3]] p31m (3*3) h3 [6,3+] p6 (632) p6 [6,3]+ p6m (*632) p6 [6,3]

В приведенной ниже таблице на пересечении строки, соответствующей группе ${\displaystyle G}$, и столбца, соответствующего группе ${\displaystyle H}$, находится минимальный индекс подгруппы ${\displaystyle G}$, изоморфной ${\displaystyle H}$. На диагонали находится минимальный индекс собственной подгруппы, изоморфной объемлющей группе.

• Список групп сферической симметрии
• Гиперболическая плоскость — Гиперболические группы симметрии

• D. Hestenes, J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics.. — 2007. — Т. 48, 023514.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — A.K. Peters, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. (Orbifold notation for polyhedra, Euclidean and hyperbolic tilings)

• John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry. — Natick, MA: A K Peters, Ltd., 2003. — ISBN 978-1-56881-134-5.
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9.
• N.W. Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.

• "Conway's manuscript" on Orbifold notation (Notation changed from this original, x is now used in place of open-dot, and o is used in place of the closed dot)
• The 17 Wallpaper Groups