Решётка Браве

Разделяют двухмерные и трёхмерные решётки Браве.

• Пять двухмерных решёток Браве

Решётка	Элементарная ячейка	Точечная группа симметрии
Косоугольная	Параллелограмм; ${\displaystyle a\not =b,\varphi \not =90^{\circ }}$	2
Квадратная	Квадрат; ${\displaystyle a=b,\varphi =90^{\circ }}$	${\displaystyle 4mm}$
Гексагональная	${\displaystyle 60^{\circ }}$ ромб; ${\displaystyle a=b,\varphi =120^{\circ }}$	${\displaystyle 6mm}$
Примитивная прямоугольная	Прямоугольник; ${\displaystyle a\not =b,\varphi =90^{\circ }}$	${\displaystyle 2mm}$
Центрированная прямоугольная	Прямоугольник; ${\displaystyle a\not =b,\varphi =90^{\circ }}$	${\displaystyle 2mm}$

Обозначение ${\displaystyle mm}$ указывает на наличие двух видов плоскостей зеркального отражения, которые не переводятся одна в другую путем действия поворотных осей 2,4 или 6.

• Четырнадцать трёхмерных решёток Браве обычно подразделяются на семь систем, в соответствии с семью различными типами элементарных ячеек: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, кубической, тригональной и гексагональной. Каждая из систем характеризуется своим соотношением осей a,b,c и углов ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$.

Кристаллографическая система	Число ячеек в системе	Символ ячейки	Характеристики элементарной ячейки
Триклинная	1	P	${\displaystyle a\not =b\not =c;\alpha \not =\beta \not =\gamma }$
Моноклинная	2	P, C	${\displaystyle a\not =b\not =c;\alpha =\gamma =90^{\circ }\not =\beta }$
Ромбическая	4	P, C, I, F	${\displaystyle a\not =b\not =c;\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$
Тетрагональная	2	P, I	${\displaystyle a=b\not =c;\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$
Кубическая	3	P, I, F	${\displaystyle a=b=c;\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$
Тригональная	1	R	${\displaystyle a=b=c;\alpha =\beta =\gamma <120^{\circ },\not =90^{\circ }}$
Гексагональная	1	P	${\displaystyle a=b\not =c;\alpha =\beta =90^{\circ };\gamma =120^{\circ }}$

Решётка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. В общем случае решётка Браве не совпадает с реальным кристаллом, а узлы не соответствуют атомам (поскольку кристаллическая решётка может содержать более одного атома в элементарной ячейке). Поэтому следует отличать кристаллическую решётку и решётку Браве. Термин теории групп «решётки в евклидовом пространстве» соответствует именно решёткам Браве.

Неоднозначность выбора трансляционных векторов. Площадь элементарных ячеек одинакова

Понятие решётки Браве связано с основными трансляционными векторами. Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трёхмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим ${\displaystyle {\vec {a}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}_{2}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}_{3}}$).

Задав нулевую точку, строим совокупность точек по правилу: ${\displaystyle {\vec {a}}=n_{1}{\vec {a}}_{1}+n_{2}{\vec {a}}_{2}+n_{3}{\vec {a}}_{3}}$, где ${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$, ${\displaystyle n_{3}}$ — произвольные целые числа. Получившаяся решётка — решётка Браве.

Примитивная ячейка решётки Браве — параллелепипед, построенный на основных векторах трансляции. Выбор этих векторов неоднозначен (см. рис.), но объём элементарной ячейки ${\displaystyle \Omega =\left({\vec {a}}_{1}\cdot \left[{\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}\right]\right)}$ не зависит от выбора трансляционных векторов. Это связано с инвариантностью получающегося определителя относительно сложения и вычитания строк.

На примитивную ячейку решётки Браве приходится один узел.

Примитивную ячейку можно задать и другими способами. Например, в форме ячейки Вигнера-Зейтца наглядно видно, что на ячейки приходится один узел.

Примитивную ячейку обратной решётки в форме ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве — первая зона Бриллюэна.

По симметрии элементарной ячейки выделяют сингонии в кристаллографии и физике твёрдого тела.