Символы Шёнфлиса

При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:

• С_n, циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

• C_nv (от нем. vertical — вертикальный) — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
• C_nh (от нем. horisontal — горизонтальный) — группы c горизонтальной плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси симметрии.

• S_2n (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии. Индекс оси всегда чётный, так как при нечётном индексе зеркальная ось является просто комбинацией оси симметрии и перпендикулярной к ней плоскости, то есть S_n = C_nh для нечётного n.

• C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

• С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i. Как правило, используется только С_i (для n = 1), но иногда в литературе встречаются обозначения типа С_3i, С_5i.
• D_n — является группой С_n с дополнительными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной (главной) оси.

• D_nh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии.
• D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.

Группа D₂ иногда раньше обозначалась как V (от нем. Vierergruppe — четверная группа), а группы D_2h и D_2d как V_h и V_d, соответственно.

• T, O, I — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка (порядок оси n больше или равен 3). Добавление индекса h указывает на наличие горизонтальной плоскости и, как следствие, вертикальных плоскостей симметрии и центра инверсии. Добавление индекса d к группе T указывает на наличие диагональных плоскостей симметрии. Отличие группы T_d от T_h в том, что первая не содержит центра инверсии, а вторая содержит, зато T_d содержит три инверсионных оси четвёртого порядка, в то время как в T_h таких осей нет.

• T, T_h, T_d - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков).
• O, O_h - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков).
• I, I_h - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).

Иногда икосаэдрические группы I и I_h обозначаются как Y и Y_h.

Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблице

n	1	2	3	4	5	6	7	8	...	${\displaystyle \infty }$
Cn	C1	C2	C3	C4	C5	C6	C7	C8	...	C∞
Cnv	C1v = Cs	C2v	C3v	C4v	C5v	C6v	C7v	C8v	...	C∞v
Cnh	C1h = Cs	C2h	C3h	C4h	C5h	C6h	C7h	C8h	...	C∞h
Sn	S1 = Cs	S2 = Ci	S3 = C3h	S4	S5 = C5h	S6	S7 = C7h	S8	...	S∞ = C∞h
Cni	C1i = Ci	C2i = Cs	C3i = S6	C4i = S4	C5i = S10	C6i = C3h	C7i = S14	C8i = S8	...	C∞i = C∞h
Dn	D1 = C2	D2 = V	D3	D4	D5	D6	D7	D8	...	D∞
Dnh	D1h = C2v	D2h = Vh	D3h	D4h	D5h	D6h	D7h	D8h	...	D∞h
Dnd	D1d = C2h	D2d = Vd	D3d	D4d	D5d	D6d	D7d	D8d	...	D∞d = D∞h

Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.

В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D_4d и D_6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T, T_d, T_h, O и O_h составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии.

Группы с ${\displaystyle n=\infty }$ называются предельными группами[2] или группами Кюри. К ним относятся ещё две группы, не представленные в таблице. Это группа всех возможных вращений вокруг всех осей проходящих через точку, K (от нем. Kugel — шар) — группа вращений, а также группа K_h, которая описывает симметрию шара — максимально возможную точечную симметрию в трёхмерном пространстве; все точечные группы являются подгруппами группы K_h. Иногда эти группы обозначаются также R(3) (от англ. rotation — вращение) и R_h(3). В математике и теоретической физике их обычно обозначают как SO(3) и O(3) (специальная ортогональная группа в трёхмерном пространстве и ортогональная группа в трёхмерном пространстве).

Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользящего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп. Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D_2h). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп. Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена. Например, такая таблица дана в списке пространственных групп или здесь.

• Точечная группа симметрии
• Кристаллографическая точечная группа симметрии

• Теория симметрии кристаллов Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская
• Симметрия и структурные классы атомно-молекулярных систем. Апериодические системы
• Symmetry @ Otterbein - Галерея молекул, на которых можно показать элементы симметрии и как они действуют
• Symmetry @ Otterbein - Примеры определения симметрии молекул

• Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
• П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html)
• Р. Фларри, Группы симметрии. Теория и химические приложения, М.: Мир, 1983
• И. Харгитаи, Симметрия глазами химика. - М.: Мир, 1991 (страница 99)

1. Arthur Moritz Schönflies, «Krystallsysteme und Krystallstructur», Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1891
2. Предельные точечные группы

.