Квазиправильный многогранник

Квазипра́вильный многогра́нник (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») — полуправильный многогранник, который имеет в точности два вида правильных граней, поочерёдно следующих вокруг каждой вершины. Эти многогранники рёберно транзитивны, а потому на шаг ближе к правильным многогранникам, чем полуправильные, которые лишь вершинно транзитивны.

Квазиправильные фигуры
(3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.∞)2
r{3,3} r{3,4} r{3,5} r{3,6} r{3,7} r{3,8} r{3,∞}
Квазиправильные многогранники или мозаики имеют в точности два типа правильных граней, которые располагаются поочерёдно вокруг каждой вершины. Их вершинные фигуры являются прямоугольниками.

Существует только два выпуклых квазиправильных многогранника, кубооктаэдр и икосододекаэдр. Имена этих многогранников, данные Кеплером, происходят от понимания, что их грани содержат все грани двойственной пары куба и октаэдра в первом случае, и двойственной пары икосаэдра и додекаэдра во втором.

Эти формы, представленные парой (правильным многогранником и двойственным ему), могут быть заданы вертикальным символом Шлефли или r{p, q} для представления граней как правильного {p, q}, так и двойственного {q, p} многогранников. Квазиправильный многогранник с этим символом имеет вершинную конфигурацию p.q.p.q (или (p.q)2).

В более общем случае квазиправильные фигуры могут иметь вершинную конфигурацию (p.q)r, представляющую r (2 или более) граней разного вида вокруг вершины.

Мозаики на плоскости могут быть также квазиправильными, в частности тришестиугольная мозаика с вершинной конфигурацией (3.6)2. Другие квазиправильные мозаики существуют в гиперболической плоскости, например, трисемиугольная мозаика (3.7)2. Сюда входят мозаики (p.q)2, с 1/p+1/q<1/2.

Некоторые правильные многогранники и мозаики (имеющие чётное число граней в каждой вершине) могут также рассматриваться как квазиправильные путём разделения граней на два множества (как если бы мы их выкрасили в разные цвета). Правильная фигура с символом Шлефли {p, q} может быть квазиправильной и будет иметь вершинную кофигурацию (p.p)q/2, если q чётно.

Правильные и квазиправильные фигуры
Прямоугольные треугольники (p p 2)[1]
{3,4}
r{3,3}		 {4,4}
r{4,4}		 {5,4}
r{5,5}		 {6,4}
r{6,6}		 {7,4}
r{7,7}		 {8,4}
r{8,8}		 {∞,4}
r{∞,∞}
(3.3)2 (4.4)2 (5.5)2 (6.6)2 (7.7)2 (8.8)2 (∞.∞)2

Квадратный паркет
5-угольная мозаика 4-го порядка
6-угольная мозаика 4-го порядка
7-угольная мозаика 4-го порядка
8-угольная мозаика 4-го порядка
∞-угольная мозаика 4-го порядка
Треугольники общего вида (p p 3)[2]
{3,6} {4,6} {5,6} {6,6} {7,6} {8,6} {∞,6}
(3.3)3 (4.4)3 (5.5)3 (6.6)3 (7.7)3 (8.8)3 (∞.∞)3
Треугольники общего вида (p p 4)
{3,8} {4,8} {5,8} {6,8} {7,8} {8,8} {∞,8}
(3.3)4 (4.4)4 (5.5)4 (6.6)4 (7.7)4 (8.8)4 (∞.∞)4
Правильный многогранник или мозаика могут считаться квазиправильными, если они имеют чётное число граней при каждой вершине (а потому могут быть выкрашены в два цвета, чтобы соседние грани имели разные цвета).

Октаэдр можно считать квазиправильным как тетратетраэдр, (3a.3b)2, с раскрашенными попеременно треугольными гранями. Подобным же образом квадратную мозаику (4a.4b)2 можно считать квазиправильной, если раскрасить в стиле шахматной доски. Также и грани треугольной мозаики могут быть выкрашены в два альтернативных цвета, (3a.3b)3.

Построение Витхоффа

Правильные (p | 2 q) и квазиправильные многогранники (2 | p q) получаются построением Витхоффа с генераторной точкой на одном из 3 углов фундаментальной области. Это задаёт единственное ребро внутри фундаментальной области.
Квазиправильные многогранники генерируются из всех 3 углов фундаментальной области для треугольников Шварца, не имеющих прямых углов:
q | 2 p, p | 2 q, 2 | p q

Коксетер определяет квазиправильный многогранник как многогранник, имеющий Символ Витхоффа вида p | q r, и он будет правильным, если q=2 или q=r [3].

Диаграммы Коксетера — Дынкина является другой формой символического представления, которое позволяет показать связь между двумя двойственно-правильными формами:

Символ Шлефли Диаграммы Коксетера — Дынкина Символ Витхоффа
{p, q}q | 2 p
{q, p}p | 2 q
r{p, q}2 | p q

Выпуклые квазиправильные многогранники
Подробное рассмотрение темы: Полное усечение (геометрия)

Существует два выпуклых квазиправильных многогранника:

  1. Кубооктаэдр , вершинная конфигурация (3.4)2, диаграмма Коксетера — Дынкина
  2. Икосододекаэдр , вершинная конфигурация (3.5)2, диаграмма Коксетера — Дынкина

Кроме того, октаэдр, являющийся также правильным, , с вершинной конфигурацией (3.3)2, может также считаться квазиправильным, если соседним граням дать различные цвета. В таком виде его иногда называют тетратетраэдром. Оставшиеся выпуклые правильные многогранники имеют нечётное число граней при каждой вершине и не могут быть выкрашены так, чтобы обеспечить транзитивность рёбер. Тетратетраэдр имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Каждый из них образует общее ядро двойственной пары правильных многогранников. Имена (двух из) этих ядер напоминают о связанных двойственных парах, соответственно куб + октаэдр и икосаэдр + додекаэдр. Октаэдр является ядром двойственной пары тетраэдров, и при таком способе получения обычно называют его тетратетраэдром.

Правильный Двойственный
правильный		 Квазиправильный Вершинная фигура

Тетраэдр
{3,3}

3 | 2 3
Тетраэдр
{3,3}

3 | 2 3
Тетратетраэдр
r{3,3}

2 | 3 3
3.3.3.3

Куб
{4,3}

3 | 2 4
Октаэдр
{3,4}

4 | 2 3
Кубооктаэдр
r{3,4}

2 | 3 4
3.4.3.4

Додекаэдр
{5,3}

3 | 2 5
Икосаэдр
{3,5}

5 | 2 3
Икосододекаэдр
r{3,4}

2 | 3 5
3.5.3.5

Каждый из этих квазиправильных многогранников можно построить с помощью полного усечения любого из родителей, усекая рёбра полностью, пока они не превратятся в точки.

Квазиправильные мозаики

Эту последовательность продолжает тришестиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.6.3.6 — квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике и шестиугольной мозаике.

Правильный многоугольник Двойственный правильный Квазиправильный Вершинная фигура

шестиугольная
мозаика
{6,3}

6 | 2 3
треугольная
мозаика
{3,6}

3 | 2 6
тришестиугольная
мозаика
r{5,3}

2 | 3 6
3.6.3.6

Рисунок шахматной доски является квазиправильной раскраской квадратной мозаики с вершинной фигурой 4.4.4.4:

Правильный многоугольник Двойственный правильный Квазиправильный Вершинная фигура

{4,4}

4 | 2 4
{4,4}

4 | 2 4
r{4,4}

2 | 4 4
4.4.4.4

Треугольную мозаику можно также считать квазиправильной, с тремя множествами альтернированных треугольников в каждой вершине, (3.3)3:


h{6,3}
3 | 3 3
=

На гиперболической плоскости (плоскости Лобачевского) эта последовательность продолжается дальше, например, трисемиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.7.3.7 — это квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике 7-го порядка и семиугольной мозаике.

Правильный многоугольник Двойственный правильный Квазиправильный Вершинная фигура

Семиугольная
мозаика
{7,3}

7 | 2 3
Треугольный
паркет
{3,7}

3 | 2 7
Трисемиугольная
мозаика
r{3,7}

2 | 3 7
3.7.3.7

Невыпуклые примеры

Коксетер и др. (1954) классифицировали также некоторые звёздчатые многогранники, имеющие квазиправильные характеристики:

Два многогранника основываются на двойственных парах правильных тел Кеплера — Пуансо.

Большой икосододекаэдр и додекододекаэдр :

Правильный Двойственный правильный Квазиправильный Вершинная фигура

Большой звёздчатый додекаэдр
{5/2,3}

3 | 2 5/2
Большой икосаэдр
{3,5/2}

5/2 | 2 3
Большой икосододекаэдр
r{3,5/2}

2 | 3 5/2
3.5/2.3.5/2

Малый звёздчатый додекаэдр
{5/2,5}

5 | 2 5/2
Большой додекаэдр
{5,5/2}

5/2 | 2 5
Додекододекаэдр
r{5,5/2}

2 | 5 5/2
5.5/2.5.5/2

Наконец, существует три битригональных вида, вершинные фигуры которых содержат три перемежающихся типа граней:

Рисунок Название многогранника
Символ Витхоффа
Диаграмма
Коксетера		 Вершинная фигура
Битреугольный
додекододекаэдр
3 | 5/3 5
or
(5.5/3)3
Малый битреугольный
икосододекаэдр
3 | 5/2 3
or
(3.5/2)3
Большой битреугольный
икосододекаэдр
3/2 | 3 5
or
((3.5)3)/2

Квазиправильные двойственные

Некоторые авторы высказывают мнение, что, поскольку двойственные многогранники к квазиправильным имеют те же симметрии, эти двойственные тела тоже следует считать квазиправильными, но не все математики придерживаются такого мнения. Эти двойственные многогранники транзитивны относительно своих рёбер и граней (но не вершин). Они являются рёберно транзитивными телами Каталана. Выпуклые формы, согласно порядку многогранника (как выше):

  1. Ромбододекаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 8 вершин с тремя ромбическими гранями, и 6 вершин с четырьмя ромбическими гранями.
  2. Ромботриаконтаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 20 вершин с тремя ромбическими гранями, и 12 вершин с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, будучи двойственным октаэдру, куб, являющийся правильным, может быть сделан квазиправильным, если раскрасить его вершины в два цвета, так, чтобы вершины на одном ребре имели разные цвета.

Их конфигурация грани имеет вид V3.n.3.n, а диаграмма Коксетера — Дынкина

Куб
V(3.3)2
 Ромбододекаэдр
V(3.4)2
 Ромботри-
аконтаэдр
V(3.5)2
 Ромбическая мозаика
V(3.6)2
 V(3.7)2
 V(3.8)2

Эти три квазиправильных двойственных многогранника характерны наличием ромбических граней.

Эта ромбическая структура граней продолжает V(3.6)2, ромбическая мозаика.

Квазиправильные многогранники в 4-мерном пространстве и квазиправильные соты
Общая вершинная фигура — квазиправильный тетратетраэдр, , то же самое, что и правильный октаэдр

В евклидовом 4-мерном пространстве правильный шестнадцатиячейник можно считать квазиправильным как альтернированный тессеракт, h{4,3,3}, Диаграммы Коксетера — Дынкина: = , состоящий из альтернированных тетраэдраэдральных и тетраэдральных ячеек. Его вершинная фигура — это квазиправильный тетратетраэдр (октаэдр с тетраэдральной симметрией), .

Единственные квазиправильные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — альтернированные кубические соты, h{4,3,4}, диаграмма Коксетера — Дынкина: = , состоящие из альтернированных тетраэдральных и октаэдральных ячеек. Их вершинные фигуры являются квазиправильными кубооктаэдрами, [4].

Общая вершинная фигура — квазиправильный треугольный паркет, =

В гиперболическом 3-мерном пространстве квазиправильными сотами являются альтернированные кубические соты 5-го порядка, h{4,3,5}, диаграммы Коксетера — Дынкина: = , составленные из альтернированных тетраэдральных и икосаэдраьных ячеек. Вершинная фигура — квазиправильный икосододекаэдр, . Связанные паракомпактные альтернированные кубические соты 6-го порядка, h{4,3,6} имеют альтернированные тетраэдральные и шестиугольные мозаичные ячейки с вершинной фигурой, которая является тришестиугольной мозаикой, .

Квазиправильные многогранники и соты: h{4,p,q}
Пространство Конечное Аффинное Компактное Паракомпактное
Название h{4,3,3} h{4,3,4} h{4,3,5} h{4,3,6} h{4,4,3} h{4,4,4}
Диаграмма
Коксетера
Рисунок
Вершинная
фигура
r{p,3}





Можно уменьшить симметрию правильных многогранных сот вида {p,3,4} или как и получить квазиправильный вид , создавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Это можно сделать для евклидовых кубических сот {4,3,4} с кубическими ячейками, для компактных гиперболических сот {5,3,4} с додекаэдральными ячейками и паракомпактных сот {6,3,4} с конечными шестиугольными мозаичными ячейками. Они имеют четыре ячейки вокруг каждого ребра, попеременно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные тетраэдры, = .

Правильные и квазиправильные соты: {p,3,4} и {p,31,1}
Пространство Евклидово 4-мерное Евклидово 3-мерное Гиперболическое 3-мерное
Название {3,3,4}
{3,31,1} = 		{4,3,4}
{4,31,1} = 		{5,3,4}
{5,31,1} = 		{6,3,4}
{6,31,1} =
Диаграмма
Коксетера		 = = = =
Рисунок
Ячейки
{p,3}



Таким же образом можно уменьшить вдвое симметрию правильных гиперболических сот вида {p,3,6} или как и получить квазиправильный вид , задавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Они имеют шесть ячеек вокруг каждого ребра, поочерёдно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные треугольные мозаики, .

Гиперболические однородные соты: {p,3,6} и {p,3[3]}
Вид Паракомпактные Некомпактные
Название {3,3,6}
{3,3[3]}		 {4,3,6}
{4,3[3]}		 {5,3,6}
{5,3[3]}		 {6,3,6}
{6,3[3]}		 {7,3,6}
{7,3[3]}		 {8,3,6}
{8,3[3]}		 ... {∞,3,6}
{∞,3[3]}








Рисунок
Ячейки
{3,3}
{4,3}
{5,3}
{6,3}
{7,3}
{8,3}
{∞,3}

См. также

Примечания
  1. Фундаментальная область в виде прямоугольного треугольника
  2. Фундаментальная область в виде треугольника общего вида
  3. Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, 1954, с. 401–450.
  4. Coxeter, 1973, с. 69, 88.

Литература
  • P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-55432-2.
  • H.S.M Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8. (стр.17 Глава 2.3: Quasi-Regular Polyhedra, стр. 69 Quasi-regular honeycombs p. 69
  • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — . (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra p | q r)

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.