Хиральный многогранник

Более формальное определение хирального многогранника — это многогранник, имеющий две орбиты флагов под действием группы симметрии при смежных флагах в различных орбитах. Из этого определения следует, что многогранник должен быть вершинно транзитивен, рёберно транзитивен и гране транзитивен, так как каждая вершина, ребро или грань должна быть представлена флагами в обеих орбитах. Однако многогранник не может быть зеркально-симметричен, так как любая зеркальная симметрия многогранника привела бы к обмену смежных флагов[3].

Для этого определения группа симметрии многогранника может быть определена двумя различными путями — она может относиться к симметриям многогранника как геометрического объекта (в этом случае многогранник называется геометрически хиральным) или относиться к симметриям многогранника как комбинаторной структуры (абстрактный многогранник). Хиральность имеет смысл для обоих типов симметрии, но эти два определения не одинаково классифицируют многогранники как хиральные или не хиральные[4].

В трёхмерном пространстве геометрически хиральный многогранник не может иметь конечное число ограниченных граней. Например, плосконосый куб вершинно транзитивен, но его флаги имеют более двух орбит и он ни рёберно-транзитивен, ни гране-транзитивен, так что он недостаточно транзитивен для формального определения хиральности. Квазиправильные многогранники и их двойственные, такие как кубооктаэдр и ромбододекаэдр, дают другой интересный тип «почти отсутствия» — они имеют две орбиты флагов, но зеркально симметричны, и не любая пара смежных флагов принадлежит различным орбитам. Однако, несмотря на отсутствие конечных хиральных трёхмерных многогранников, существуют бесконечные трёхмерные хиральные косые многогранники типов {4,6}, {6,4} и {6,6}[4].