Флаг (геометрия)

Флаг в геометрии многогранников — последовательность граней (различной размерности) абстрактного многогранника, в которой каждая предыдущая грань содержится в последующей и последовательность содержит ровно по одной грани каждой размерности.

Диаграмма граней квадратной пирамиды, показывающая один из её флагов

Более формально, флаг ψ n-мерного многогранника — это множество {F−1, F0, …, Fn}, такое, что Fi ≤ Fi+1 (−1 ≤ i ≤ n − 1) и имеется ровно один элемент Fi в ψ для каждого i, (−1 ≤ i ≤ n). Поскольку минимальная грань F−1 и максимальная грань Fn должны быть в каждом флаге, их часто опускают из списка граней для краткости. Эти две грани называются несобственными.

Например, флаг трёхмерного многогранника состоит из вершины, одного ребра, инцидентного этой вершине, и одной многоугольной грани, инцидентной как вершине, так и ребру, плюс две несобственные грани. Флаг трёхмерного многогранника иногда называется «дартом».

Многогранник можно рассматривать как правильный тогда и только тогда, когда его группа симметрии является транзитивной на флагах. Это определение исключает хиральные многогранники.

Геометрия инцидентности

В более абстрактных условиях геометрии инцидентности, которая является множеством с симметричными и рефлексивными отношением, определённом на элементах множества и называемым инцидентностью. Флаг — это множество элементов, которые попарно инцидентны[1]. Этот уровень абстракции обобщает как концепцию флагов многогранников, данную выше, так и концепцию флагов из линейной алгебры.

Флаг является максимальным, если он не содержится в большем флаге. Если все максимальные флаги геометрии инцидентности имеют один и тот же размер, это общее значение является рангом геометрии.

Примечания
  1. Beutelspacher, Rosenbaum, 1998, с. 3.

Литература
  • Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projective Geometry: from foundations to applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998. — ISBN 0-521-48277-1.
  • Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-55432-2.
  • Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.