Геометрия инцидентности

Структура инцидентности (P, L, I) состоит из множества P, элементы которого называются точками, множества L , элементы которого называются прямыми, и отношения инцидентности I между ними, то есть подмножества P × L, элементы которого называются флагами [2]. Если (A, l) — флаг, мы говорим, что A инцидентна l, или, что l инцидентна A (отношение симметрично), и пишем A I l. Интуитивно ясно, что точка и прямая находятся в таком отношении тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой. Если дана точка B и прямая m, которые не образуют флаг, то точка не лежит на прямой и пара (B, m) называется антифлагом.

Наиболее изучаемые структуры инциденций, это структуры, удовлетворяющие некоторым дополнительным свойствам (аксиомам), такие как проективные плоскости, аффинные плоскости, обобщённые многоугольники, частичные геометрии и почти многоугольники. Весьма общие структуры инциденций могут быть получены наложением «мягких» условий, таких как:

Частично линейное пространство является структурой инциденций, для которой выполняются следующие аксиомы[3]:

• Любая пара различных точек определяет максимум одну прямую.
• Любая прямая содержит по меньшей мере две различные точки.

В частично линейном пространстве также верно, что любая пара различных прямых пересекаются максимум в одной точке. Это утверждение не включается в аксиомы, поскольку легко доказывается из первой аксиомы.

Дальнейшие ограничения задаются условиями регулярности:

RLk: Каждая прямая инцидентна одному и тому же числу точек. Если это число конечно, оно часто обозначается как k.

RPr: Каждая точка инцидентна одному и тому же числу прямых. Если это число конечно, его часто обозначают как r.

Из второй аксиомы частично линейного пространства следует, что k > 1. Ни одно из условий регулярности не вытекает из другого, так что следует принять r > 1.

Конечное частично линейное пространство, удовлетворяющее обоим условиям регулярности с k, r > 1, называется тактической конфигурацией[4]. Некоторые авторы называют такие конфигурации просто конфигурациями[5] или проективными конфигурациями[6]. Если тактическая конфигурация имеет n точек и m прямых, то, после двойного подсчёта флагов, получается соотношение nr = mk. Обычно используется обозначение (n_r, m_k)-конфигурация. В специальном случае, когда n = m (а потому, r = k), вместо обозначения (n_k, n_k) часто пишут просто (n_k).

Простейшее нетривиальное линейное пространство

Линейное пространство является частично линейным пространством, таким, что[3]:

• Любая пара различных точек определяет в точности одну прямую.

Некоторые авторы добавляют аксиому «невырожденности» (или «нетривиальности») к определению (частичного) линейного пространства, такую как:

• Существуют по меньшей мере две различные прямые[7].

Аксиома невырожденности позволяет исключить некоторые очень маленькие примеры (в основном те, в которых множества P или L состоят менее чем из двух элементов), которые были бы исключениями в общих утверждениях о структурах инцидентности. Альтернативный подход — считать структуры инцидентности, не удовлетворяющие аксиоме невырожденности тривиальными, а удовлетворяющие — нетривиальными.

Любое нетривиальное линейное пространство содержит по меньшей мере три точки и три прямые, так что простейшее нетривиальное линейное пространство — треугольник.

Линейное пространство, имеющее по меньшей мере три точки на каждой прямой, является конфигурацией Сильвестера – Галлаи.

Некоторые из базовых понятий и терминологии возникают из геометрических примеров, особенно из проективных плоскостей и аффинных плоскостей.

Проективные плоскости

Основная статья: Проективная плоскость

Проективная плоскость — это линейное пространство, в котором:

• Любая пара различных прямых пересекаются в точности в одной точке
• Выполняется условие невырожденности — существует четыре точки, никакие три из которых не коллинеарны.

На проективных плоскостях существует биекция между P и L. Если P является конечным множеством, о проективной плоскости говорят как о конечной проективной плоскости. Порядок конечной проективной плоскости равен n = k – 1, то есть на единицу меньше числа точек на прямой. Все известные проективные плоскости имеют порядки, равные степени простого числа. Проективная плоскость порядка n является конфигурацией ((n² + n + 1)_{n + 1}).

Наименьшая проективная плоскость имеет порядок два и известна как плоскость Фано.

Проективная плоскость порядка 2
плоскость Фано plane

Аффинные плоскости

Основная статья: Аффинная плоскость

Аффинная плоскость — это линейное пространство, удовлетворяющее:

• Для любой точки A и прямой l, не инцидентной точке (антифлаг), существует в точности одна прямая m, инцидентная A (то есть A I m), не пересекающая l (аксиома Плейфера)
• Выполняется условие невырожденности — существует треугольник, т.е. три неколлинеарные точки.

О прямых l и m в утверждении аксиомы Плейфера говорят как о параллельных. Любая аффинная плоскость может быть единственным образом расширена до проективной плоскости. Порядок конечной аффинной плоскости равен k, числу точек на прямой. Аффинная плоскость порядка n является конфигурацией ((n²)_{n + 1}, (n² + n)_n).

Аффинная плоскость порядка 3
(Конфигурация Гессе)

Частичная геометрия pg(2,2,1)

Если задано целое число α ≥ 1, тактическая конфигурация, удовлетворяющая аксиоме:

• Для любого антифлага (B, m) существуют α флагов (A, l), такие что B I l и A I m,

называется частичной геометрией. Если существует s + 1 точек на прямой и t + 1 прямых проходят через точку, обозначение этой частичной геометрии — pg(s, t, α).

Если α = 1, эти частичные геометрии являются обобщёнными четырёхугольниками.

Если α = s + 1, конфигурации называются системами Штейнера.

Для n > 2 [11], обобщённый n-угольник — это частично линейное пространство, граф инцидентности которого Γ имеет свойство:

• Обхват графа Γ (длина кратчайшего цикла) является удвоенным диаметром графа Γ (наибольшее расстояние между двумя вершинами, n в нашем случае).

Обобщённый 2-угольник — это структура инцидентности, которая не является частично линейным пространством, состоящая по меньшей мере из двух точек и двух прямых, в которой каждая точка инцидентна каждой прямой. Графом инцидентности обобщённого 2-угольника является полный двудольный граф.

Обобщённый n-угольник не содержит никаких простых m-угольников для 2 ≤ m < n и для каждой пары объектов (две точки, две прямые или точка с прямой) существует обычный n-угольник, содержащий оба объекта.

Обобщённые 3-угольники являются проективными плоскостями. Обобщённые 4-угольники называются обобщёнными четырёхугольниками. По теореме Фейта-Хигмана существует только конечное число обобщённых n-угольников по меньшей мере с тремя точками на каждой прямой и тремя прямыми, проходящими через каждую прямую, и число n равно 2, 3, 4, 6 или 8.

Для неотрицательных целых d почти 2d-угольник — это структура инцидентности, такая, что:

• Максимальное расстояние (измеряется по графу коллинеарности) между двумя точками равно d
• Для любой точки X и прямой l существует единственная точка на l, ближайшая к X.

Почти 0-угольник — это точка, а почти 2-угольник — прямая. Граф коллинеарности почти 2-угольника — полный граф. Почти 4-угольник — это обобщённый четырёхугольник (возможно, вырожденный). Любой конечный обобщённый многоугольник, за исключением проективных плоскостей, является тесным многоугольником. Любой связный двудольный граф является почти многоугольником и любой почти многоугольник, имеющий в точности две точки на каждой прямой, является связным двудольным графом. Также все двойственные полярные пространства являются почти многоугольниками.

Многие почти многоугольники связаны с конечными простыми группами, подобными группам Матьё и группа Янко J2. Более того, обобщённые 2d-угольники, связанные с группами лиева типа, являются специальными случаями почти 2d-угольников.

Абстрактная плоскость Мёбиуса (или инверсная плоскость) — это структура инцидентности, в которой, во избежание возможной путаницы с терминологией классического случая, прямые называют циклами или блоками.

Конкретно: плоскость Мёбиуса — это структура инцидентности точек и циклов, такая, что:

• Любая тройка различных точек инцидентна в точности одному циклу.
• Для любого флага (P, z) и любой точки t Q, не инцидентной z, существует единственный цикл z^∗ с P I z^∗, Q I z^∗ и z ∩ z^∗ = {P}. (Говорят, что циклы касаются P.)
• Любой цикл имеет по меньшей мере три точки и существует по меньшей мере один цикл.

Структура инцидентности, полученная из любой точки P плоскости Мёбиуса путём выбора в качестве точек всех точек, отличных от P, а в качестве прямых выбора только тех циклов, которые содержат P (с удалённой P), является аффинной плоскостью. Эта структура называется остатком P в теории схем.

Конечная плоскость Мёбиуса порядка m — это тактическая конфигурация с k = m + 1 точками в каждом цикле, которая является 3-дизайном, блок-схемой 3-(m² + 1, m + 1, 1).

• Проективные геометрии
• Многоугольник Моуфанга
• Двойная шестёрка Шлефли
• Конфигурация Рейе
• Конфигурация Кремоны — Ричмонда
• Конфигурация Куммера
• Конфигурация Клейна
• Недезарговы плоскости

• Комбинаторные схемы
• Конечная геометрия
• Теорема о пересечениях
• Граф Леви

• G. Fano. Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva // Giornale di Matematiche. — 1892. — Т. 30. — С. 106–132.
• H. S. M. Coxeter. Introduction to Geometry. — New York: John Wiley & Sons, 1969. — С. 233. — ISBN 0-471-50458-0.
• David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. — 2nd. — Chelsea, 1952. — С. 94–170. — ISBN 0-8284-1087-9.
• Lynn Margaret Batten. Combinatorics of Finite Geometries. — New York: Cambridge University Press, 1986. — ISBN 0-521-31857-2.
• Lynn Margaret Batten, Albrecht Beutelspacher. The Theory of Finite Linear Spaces. — New York: Cambridge University Press, 1993. — ISBN 0-521-33317-2.
• Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.
• Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. Handbook of Combinatorial Designs. — 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8.
• Collino, Alberto; Conte, Alberto & Verra, Alessandro (2013), On the life and scientific work of Gino Fano, arΧiv:1311.7177

• Peter Dembowski. Finite geometries. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1968. — Т. 44. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). — ISBN 3-540-61786-8.
• Malkevitch, Joe Finite Geometries? (неопр.). Дата обращения: 2 декабря 2013.
• Moorhouse, G. Eric Incidence Geometry. MATH 5700 Fall 2007 (англ.) (pdf) (недоступная ссылка). University of Wyoming (August 2007). Дата обращения: 17 января 2017. Архивировано 29 октября 2013 года.
• Johannes Ueberberg. Foundations of Incidence Geometry. — Springer, 2011. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-642-26960-8. — doi:10.1007/978-3-642-20972-7..
• Ernest E. Shult. Points and Lines. — Springer, 2011. — (Universitext). — ISBN 978-3-642-15626-7. — doi:10.1007/978-3-642-15627-4..

• Simeon Ball. Finite Geometry and Combinatorial Applications. — Cambridge University Press, 2015. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-1107518438..

• incidence system на сайте Математическая энциклопедия