Почти многоугольник

Почти многоугольник — это геометрия инцидентности, предложенная Эрнестом Е. Шультом и Артуром Янушкой в 1980[1]. Шульт и Янушка показали связь между так называемыми тетраэдрально замкнутыми системами прямых в евклидовых пространствах и классом геометрий точка/прямая, которые они назвали почти многоугольниками. Эти структуры обобщают нотацию обобщённых многоугольников, поскольку любой обобщённый 2n-угольник является почти 2n-угольником определённого вида. Почти многоугольники интенсивно изучались, а связь между ними и двойственными полярными пространствами[2] была показана в 1980-х годах и начале 1990-х. Некоторые спорадические простые группы, например, группа Холла — Янко и группы Матьё, действуют как группы автоморфизмов на почти многоугольниках.

Плотный почти многоугольник с диаметром d = 2

Определения

Почти 2d-угольники — это структура инцидентности (), где — множество точек, — множество прямых, а отношение инцидентности, такое, что:

  • Максимальное расстояние между двумя точками (так называемый диаметр) равен d.
  • Для любой точки и любой прямой существуют единственная точка на , ближайшая к .

Заметим, что расстояние измеряется в терминах коллинеарного графа точек, т.е. графа, образованного из точек в качестве вершин, и пара вершин соединена ребром, если они инцидентны одной прямой. Мы можем также дать альтернативное определение в терминах теории графов. Почти 2d-угольник — это связный граф конечного диаметра d со свойством, что для любой вершины x и любой максимальной клики M существует единственная вершина x' в M, ближайшая к x. Максимальная клика такого графа соответствует прямым в определении структуры инцидентности. Почти 0-угольник (d = 0) — это единственная точка, в то время как почти 2-угольник (d = 1) — это просто одна прямая, т.е. полный граф. Почти квадрат (d = 2) — это то же самое, что и (возможно, вырожденный) обобщённый четырёхугольник. Можно показать, что любой обобщённый 2d-угольник является почти 2d-угольником, удовлетворяющим двум дополнительным условиям:

  • Любая точка инцидентна по меньшей мере двум прямым.
  • Для любых двух точек x, y на расстоянии i < d существует единственная соседняя точка для y на расстоянии i  1 от x.

Почти многоугольник называется плотным, если любая прямая инцидентна по меньшей мере трём точкам и если две точки на расстоянии два имеют по меньшей мере две общие соседние точки. Говорят, что многоугольник имеет порядок (s, t), если любая прямая инцидентна в точности s + 1 точкам и любая точка инцидентна в точности t + 1 прямым. Плотные почти многоугольники имеют богатую теорию и некоторые их классы (такие как тонкие плотные почти многоугольники) полностью классифицированы[3].

Подпространство X пространства P называется выпуклым, если любая точка на кратчайшем пути между двумя точками из X также содержится в X[4].

Примеры

  • Все связные двудольные графы являются почти многоугольниками. Фактически, любой почти многоугольник, имеющий в точности две точки на прямую, должен быть связным двудольным графом.
  • Все конечные обобщённые многоугольники, за исключением проективных плоскостей.
  • Все двойственные полярные пространства.
  • Почти восьмиугольник Холла — Янко, известный также как почти восьмиугольник Коэна — Титса[5], связан с группой Холла — Янко. Он может быть построен путём выбора класса сопряжённости 315 центральных инволюций группы Холла — Янко в качестве точек и трёхэлементных подмножеств {x,y,xy} в качестве прямых, если x и y коммутируют.
  • Почти многоугольник M24, связанный с группой Матьё M24 и расширенным двоичным кодом Голея. Восьмиугольник строится из 759 октад (блоков) схемы Витта S(5, 8, 24), соответствующим кодам Голея, в качестве точек и троек трёх попарно не пересекающихся восьмёрок в качестве прямых[6]
  • Возьмём разбиение множества {1, 2,..., 2n+2} на n+1 подмножеств из 2 элементов в качестве точек и n – 1[7] подмножеств из двух элементов и одного подмножества из 4 элементов в качестве прямых. Точка инцидентна прямой тогда и только тогда, когда она (как разбиение) является измельчением прямой. Это даёт нам 2n-угольник с тремя точками на каждой прямой, которые обычно обозначаются как Hn. Полная группа автоморфизмов этого почти многоугольника — S2n+2[8].

Правильные почти многоугольники

Конечный почти -угольник S называется правильным, если он имеет порядок и если существуют константы , такие, что для любых двух точек и на расстоянии существует в точности прямых, проходящих через и содержащих (обязательно в единственном числе) точек на расстоянии от . Оказывается, что правильные почти -угольники — это в точности те почти -угольники, точечные графы которых являются дистанционно-регулярными графами. Обобщённый -угольник порядка — это правильный почти -угольник с параметрами

См. также

Примечания

  1. Shult, Yanushka, 1980.
  2. Cameron, 1982, с. 75-85.
  3. De Bruyn, 2006.
  4. De Bruyn, 2013, с. 1313.
  5. The near octagon on 315 points
  6. https://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/Witt.pdf
  7. В английской версии статьи здесь стоит n, но в статье де Брёйна стоит n-1.
  8. De Bruyn, 2013.

Литература

  • Brouwer A.E., Cohen A. M., Wilbrink H. A., Hall J. J. Near polygons and Fischer spaces // Geom. Dedicata. — 1994. Т. 49. С. 349–368. doi:10.1007/BF01264034.
  • Brouwer A.E., Cohen A.M. Distance Regular Graphs. — Berlin, New York: Springer-Verlag., 1989. — ISBN 3-540-50619-5.
  • Cameron Peter J. Dual polar spaces // Geom. Dedicata. — 1982. Т. 12. С. 75–85. doi:10.1007/bf00147332.
  • Cameron Peter J. Projective and polar spaces. — Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991. — Т. 13. — (QMW Maths Notes).
  • De Bruyn Bart. Near Polygons. — Birkhäuser Verlag, 2006. ISBN 3-7643-7552-3. doi:10.1007/978-3-7643-7553-9.
  • De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam: North-Holland, 1995. — С. 433–475.
  • Shult Ernest E. Points and Lines. — Springer, 2011. — (Universitext). — ISBN 978-3-642-15626-7. doi:10.1007/978-3-642-15627-4.
  • Shult Ernest, Yanushka Arthur. Near n-gons and line systems // Geom. Dedicata. — 1980. Т. 9. С. 1–72. doi:10.1007/BF00156473.
  • De Bruyn Bart. Isometric embeddings of the near polygons Hn and Gn into dualpolarspaces // Discrete Mathematics / Douglas B. West. — 2013. Вып. 313. С. 1313-1321. ISSN 0012-365X.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.