Спорадическая группа

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

Простая группа — это группа G, не содержащая каких-либо нормальных подгрупп, отличных от самой группы G и тривиальной (единичной) подгруппы. Теорема классификации утверждает, что список конечных простых групп состоит из 18 счётных бесконечных семейств, плюс 26 исключений, которые не попадают в эту классификацию. Эти исключения называются спорадическими группами. Они также известны под названиями «спорадические простые группы» или «спорадические конечные группы». Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, иногда она также считается спорадической[1] и в этом случае является 27-ой спорадической группой.

Группа Монстр является наибольшей среди спорадических групп и содержит в качестве подгрупп или подфакторгрупп все, за исключением шести, другие спорадические группы.

Имена спорадических групп

Пять спорадических групп обнаружил Матьё в 1860-х годах, остальные 21 найдены между 1965 и 1975 годами. Существование нескольких из этих групп было предсказано до их построения. Позднее было доказано, что этим окончательно завершён полный поиск. Большинство групп носят имена математиков, первыми предсказавшими их существование.

Полный список групп:

Диаграмма показывает подфакторные связи спорадических групп.

Группа Титса T иногда также считается спорадической группой (она почти лиева типа) и по этой причине по некоторым источникам число спорадических групп даётся как 27, а не 26. По другим источникам группа Титса не считается ни спорадической, ни группой лиева типа.

Для всех спорадических групп были построены матричные представления над конечными полями.

Наиболее раннее употребление термина «спорадическая группа» найдено у Бёрнсайда[2], где он говорит о группах Матьё: «Эти, по всей видимости, спорадические простые группы требуют более тщательного исследования, чем до сих пор получали».

Диаграмма справа основывается на диаграмме Ронана[3]. Спорадические группы также имеют большое число подгрупп, не являющихся спорадическими, но на диаграмме они не представлены ввиду их огромного числа.

Система

Из 26 спорадических групп 20 находятся внутри группы «Монстр» в качестве подгрупп или подфакторгрупп.

I. Парии

Шесть исключений J1, J3, J4, O’N, Ru и Ly иногда называют париями.

II. Счастливое Семейство

Остальные двадцать групп называют Счастливым семейством (название дал Роберт Грис) и их можно разбить на три поколения.

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё

Группы Mn для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно-транзитивными группами перестановок n точек. Все они являются подгруппами группы M24, которая является группой перестановок 24 точек.

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича

Все подфакторы группы автоморфизмов решётки в 24-мерном пространстве, называемой решёткой Лича:

  • Co1 — факторгруппа группы автоморфизмов по центру {±1}
  • Co2 — стабилизатор вектора типа 2 (то есть длины 2)
  • Co3 — стабилизатор вектора типа 3 (то есть длины √6)
  • Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих структуру (модуль центра)
  • McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3
  • HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3
  • J2 — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (модуль по центру).

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра

Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с Монстром M:

  • B или F2 имеет двойное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M
  • Fi24′ имеет тройное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3A»)
  • Fi23 является подгруппой Fi24
  • Fi22 имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi23
  • Произведение Th = F3 и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3C»)
  • Произведение HN = F5 и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
  • Произведение He = F7 и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M.
  • Наконец, Монстр сам по себе считается принадлежащим этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше — произведение M12 и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M.)

Группа Титса также принадлежит этому поколению — существует подгруппа , нормализующая 2C2 подгруппу B, порождающая подгруппу , нормализующую некоторую подгруппу Q8 Монстра. является также подгруппой групп Фишера Fi22, Fi23 и Fi24′ и «малого Монстра» B. является подгруппой группы-парии Рудвалиса Ru и не имеет других зависимостей со спорадическими простыми группами кроме перечисленных выше.

Таблица порядков спорадических групп

ГруппаПоколениеПорядок (последовательность A001228 в OEIS)Значащих
цифр
РазложениеТройка
Стандартных генераторов (a, b, ab)[4][5][6]
Другие условия
F1 или Mтретье8080174247945128758864599049617107
57005754368000000000
≈ 8⋅1053246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 712A, 3B, 29
F2 или Bтретье4154781481226426191177580544000000 ≈ 4⋅1033 2C, 3A, 55
Fi24' или F3+третье1255205709190661721292800≈ 1⋅1024221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 292A, 3E, 29
Fi23третье4089470473293004800≈ 4⋅1018218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 232B, 3D, 28
Fi22третье64561751654400≈ 6⋅1013217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 132A, 13, 11
F3 или Thтретье90745943887872000≈ 9⋅1016215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 312, 3A, 19
Lyпария51765179004000000≈ 5⋅101628 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 672, 5A, 14
F5 или HNтретье273030912000000≈ 3⋅1014214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 192A, 3B, 22
Co1второе4157776806543360000≈ 4⋅1018221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 232B, 3C, 40
Co2второе42305421312000≈ 4⋅1013218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 232A, 5A, 28
Co3второе495766656000≈ 5⋅1011210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 232A, 7C, 17
O'Nпария460815505920≈ 5⋅101129 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 312A, 4A, 11
Suzвторое448345497600≈ 4⋅1011213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 132B, 3B, 13
Ruпария145926144000≈ 1⋅1011214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 292B, 4A, 13
F7 или Heтретье4030387200≈ 4⋅109210 • 33 • 52 • 73 • 172A, 7C, 17
McLвторое898128000≈ 9⋅10827 • 36 • 53 • 7 • 112A, 5A, 11
HSвторое44352000≈ 4⋅10729 • 32 • 53 • 7 • 112A, 5A, 11
J4пария86775571046077562880≈ 9⋅1019221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 432A, 4A, 37
J3 или HJMпария50232960≈ 5⋅10727 • 35 • 5 • 17 • 192A, 3A, 19
J2 или HJвторое604800≈ 6⋅10527 • 33 • 52 • 72B, 3B, 7
J1пария175560≈ 2⋅10523 • 3 • 5 • 7 • 11 • 192, 3, 7
M24первое244823040≈ 2⋅108210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 232B, 3A, 23
M23первое10200960≈ 1⋅10727 • 32 • 5 • 7 • 11 • 232, 4, 23
M22первое443520≈ 4⋅10527 • 32 • 5 • 7 • 112A, 4A, 11
M12первое95040≈ 1⋅10526 • 33 • 5 • 112B, 3B, 11
M11первое7920≈ 8⋅10324 • 32 • 5 • 112, 4, 11

Примечания

  1. Например, согласно Конвею.
  2. Burnside, 1911, с. 504, note N.
  3. Ronan, 2006.
  4. Wilson RA. An Atlas of Sporadic Group Representations (1998).
  5. Nickerson SJ, Wilson RA. Semi-Presentations for the Sporadic Simple Groups (2000).
  6. Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN. Atlas: Sporadic Groups (1999).

Литература

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.