Группа Титса

Группы Ри ²F₄(2²ⁿ⁺¹) построил Римхак Ри[1]. Он показал, что эти группы являются простыми, если n ≥ 1. Первый член этой последовательности ²F₄(2) не является простым. Группу исследовал Жак Титс[2] и показал, что она почти проста, её коммутант ²F₄(2)′ с индексом 2 является другой простой группой, которая носит теперь имя «группа Титса». Группа ²F₄(2) является группой лиева типа и имеет пару (B, N), но сама группа Титса пары (B, N) не имеет. Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, её иногда считают 27-й спорадической группой[3]

Мультипликатор Шура группы Титса тривиален, её группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов — группа ²F₄(2).

Группа Титса является максимальной подгруппой группы Фишера Fi22. Группа ²F₄(2) является также максимальной подгруппой группы Рудвалиса как точечный стабилизатор перестановочное действие ранга 3 на 4060 = 1 + 1755 + 2304 точках.

Группа Титса является одной из простых N-групп и она была пропущена Джоном Г. Томпсоном в первом сообщении о классификации простых N-групп, поскольку к тому моменту группа не была открыта.

Группа является также одной из тонких групп.

Группу Титса описывали различными способами Паррот в 1972/73 годах[4][5] и Строт[6].

Группу Титса можно определить в терминах генераторов и отношений

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=(ababababab^{-1})^{6}=1,\,}$

где [a, b] — коммутатор. Он имеет внешний автоморфизм, который получается путём перевода (a, b) в (a, bbabababababbababababa).

Уилсон[7] и Чакериан[8] независимо нашли 8 классов максимальных подгрупп группы Титса:

L₃(3):2 Два класса, связанные внешним автоморфизмом. Эти подгруппы оставляют неподвижными точки ранга 4 перестановочных представлений.

2.[2⁸].5.4 Централизатор инволюции.

L₂(25)

2².[2⁸].S₃

A₆.2² (Два класса, связанные внешним автоморфизмом)

5²:4A₄

• ATLAS of Group Representations — The Tits Group