Пара (B, N)

Пара (B, N) — это пара подгрупп B и N группы G, удовлетворяющих аксиомам[1]

• Объединение групп B и N порождает G.
• Пересечение H групп B и N является нормальной подгруппой группы N.
• Группа W = N/H порождается множеством S элементов w_i порядка 2 для i в некотором непустом множестве I.
• Если w_i является элементом S и w является любым элементом группы W, то w_iBw содержится в объединении Bw_iwB и BwB.
• Никакой генератор w_i не нормализует B.

Идея определения в том, что B является аналогом верхних треугольных матриц полной линейной группы GL_n(K), H является аналогом диагональных матриц, а N является аналогом нормализатора H.

Подгруппа B иногда называется борелевской подгруппой, H иногда называется подгруппой Картана, а W называется группой Вейля. Пара (W,S) является системой Коксетера.

Число генераторов называется рангом.

• Допустим, что G — любая дважды транзитивная группа перестановок на множестве X с более чем двумя элементами. Пусть B — подгруппа группы G, оставляющая на месте точку x, и пусть N — подгруппа, оставляющая на месте или обменивающая местами 2 точки x и y. Подгруппа H тогда состоит из элементов, оставляющих обе точки x и y на месте, а W имеет порядок 2 и её нетривиальный элемент переставляет x и y.
• Обратно, если G имеет пару (B, N) ранга 1, то действие группы G на классы смежности группы B дважды транзитивно. Таким образом, пары BN ранга 1 более или менее — это то же самое, что и действии двойных перестановочных действий на множестве из более 2 элементов.
• Допустим, что G — полная линейная группа GL_n(K) над полем K. Возьмём в качестве B верхние треугольные матрицы, в качестве H — диагональные матрицы, а в качестве N — обобщённые матрицы перестановок, т.е. матрицы с точно одним ненулевым элементом в каждом столбце и в каждой строке. Имеется n − 1 генераторов w_i, представленных матрицами, полученными путём перестановки строк диагональной матрицы.
• Более обще, любая группа лиева типа имеет BN-пару.
• Редуктивная алгебраическая группа над локальным полем имеет BN-пару, где B является подгруппой Ивахори.

Отображение w в BwB является изоморфизмом из множества элементов группы W во множество двойных смежных классов группы G по B. Классы образуют разложение Брюа G = BWB.

Если T является подмножеством группы S, пусть W(T) — подгруппа группы W, генерируемая подмножеством T. Мы определяем G(T) = BW(T)B как стандартную параболическую подгруппу для T. Подгруппы группы G, содержащие сопряжённые с B подгруппы, являются параболическими подгруппами[2]. Смежные классы B называются борелевскими (или минимальными параболическими подгруппами). Это в точности стандартные параболические подгруппы.

BN-пары можно использовать для доказательства, что многие группы лиева типа являются простыми по модулю центров. Точнее, если G имеет BN-пару, такую, что B разрешима, пересечение всех смежных классов B тривиально, а множество генераторов группы W не может быть разложено на два непустых коммутирующих множества, то G является простой, если она совершена (то есть совпадает со своим коммутантом). На практике все эти условия, за исключением совершенства группы G, легко проверить. Проверка же совершенства группы G требует некоторых запутанных вычислений (и некоторые маленькие группы лиева типа не являются совершенными). Однако показать, что группа совершенна, обычно куда легче, чем показать, что группа проста.