Локальное поле

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Определение

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

Типы

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел $\mathbb {R}$ и поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ .
Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа $\mathbb {Q} _{p}$ и их конечные расширения.
Неархимедовы локальные поля характеристики $p\neq 0$ : формальные ряды Лорана над конечным полем $\mathbb {F} _{p^{n}}$ и их конечные расширения.

Свойства

Общие свойства

Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
На любом локальном поле $K$ можно ввести абсолютную величину $|a|$ такую, что
$|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}$

для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества

X\subset K

с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поля

В неархимедовом локальном поле $K$ $\text{[math]}$ с абсолютной величиной $|{*}|$ $\text{[math]}$ можно дать следующие определения:
- Кольцо целых чисел
  ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$
  - Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в $(K,|{*}|)$ .
- Единицы в кольце целых чисел определяются как ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$ $\text{[math]}$ .
  - Они образуют группу и единичную сферу в $(K,|{*}|)$ .
- Единственный ненулевой простой идеал ${\mathfrak {m}}$ в кольце целых чисел является открытым единичным шаром
  $\{a\in K:|a|<1\},$

и его образующий элемент

\omega \in {\mathfrak {m}}

называется униформизирующим элементом

K

.

Поле остатков $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ является конечным, поскольку компактно и дискретно.
При этом $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$ , где $|k|$ — мощность поля остатков $k$ .

Каждый ненулевой элемент $a\in K$ $\text{[math]}$ можно записать как $a=\omega ^{n}\cdot u$ $\text{[math]}$ , где $u$ $\text{[math]}$ — единичный элемент, $n$ $\text{[math]}$ — целое число, определяемое однозначно по $a$ $\text{[math]}$ .
- В частности $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

См. также

Глобальное поле

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.