Решётка Лича

Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ типа ${\displaystyle [24,12,8]}$ как образ при сжатии в ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ раз множества векторов ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{24})\in \mathbb {Z} ^{24}}$ таких, что

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как

${\displaystyle v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4}},\\0,&a_{i}\not \equiv j{\pmod {4}},\end{cases}}}$

принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Решётка Лича может быть построена с помощью псевдоевклидова пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка ${\displaystyle \mathrm {II} _{25,1}}$, состоящая из векторов ${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{25})}$, у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом ${\displaystyle x_{0}+\dots +x_{24}-x_{25}\in 2\mathbb {Z} }$, иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор ${\displaystyle u=(0,1,\dots ,24,70)}$. Отметим, что в силу изотропности ${\displaystyle u\in \langle u\rangle ^{\perp }}$, поэтому можно рассмотреть факторпространство ${\displaystyle \langle u\rangle ^{\perp }/\langle u\rangle }$. Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности ${\displaystyle u}$) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ ${\displaystyle (\langle u\rangle ^{\perp }\cap \mathrm {II} _{25,1})/\langle u\rangle }$ пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве[1].