Решётка E8

Решётку E₈ можно охарактеризовать как единственную решётку в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$, удовлетворяющую следующим свойствам:

• Это унимодулярная решётка, то есть
  • из её базиса можно составить матрицу ${\displaystyle 8\times 8}$ с определителем ±1.
  • Иначе говоря, объём фундаментальной области этой решётки равен 1.
  • Эквивалентно, E₈ является самодвойственной, то есть она совпадает со своей обратной решёткой.
• Эта решётка чётная, то есть норма любого её вектора — чётное целое число.

Чётные унимодулярные решётки существуют только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решёток две: E₈ ⊕ E₈ и D₁₆⁺ (последняя строится аналогично E₈ в размерности 16). В размерности 24 существует 24 такие решётки, наиболее важной из них является решётка Лича.

Один из возможных базисов для E₈ задаётся столбцами следующей верхнетреугольной матрицы

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].}$

То есть E₈ состоит из всех целых линейных комбинаций столбцов. Все другие базисы получаются из одного умножением справа на матрицу из GL(8,Z).

Кратчайший ненулевой вектор E₈ имеет норму 2, всего решётка содержит 240 таких векторов. Эти вектора образуют корневую систему группы Е₈. То есть решётка E₈ является корневой решёткой Е₈. Любой выбор из 8 простых корней дает базис E₈.

Областями Вороного решётки E₈ являются 5 21 соты.

Группы симметрий решётки в Rⁿ определяется как подгруппа ортогональной группы O(n), которая сохраняет решётку. Группа симметрий решётки Е₈ порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решётки. Её порядок равен

${\displaystyle |W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.}$

Эта группа содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всех перестановок координат и чётного числа смен знаков. Полная группа симметрий порождается этой подгруппой и блочно-диагональной матрицей H₄⊕H₄ где H₄ — матрица Адамара

${\displaystyle H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right].}$

В задаче упаковки шаров спрашивается, как наиболее плотным способом упаковать шары фиксированного радиуса в пространство без наложений. В R⁸ размещение шаров радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ в точках решётки Е₈ даёт упаковку максимальной плотности, равной

${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.}$

То, что эта плотность максимальна для решётчатых упаковок, было известно давно[3]. Кроме того, было известно, что такая решётка единственна с точностью до подобия[4]. Марина Вязовская недавно доказала, что эта упаковка является оптимальной даже среди всех упаковок[5][6].

Решение задачи упаковки шаров известно только в размерностях 1, 2, 3, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, связан с особыми свойствами решётки Е₈ и её 24-мерного аналога решётки Лича.

В задаче о контактном числе спрашивается, какое максимальное число шаров фиксированного радиуса может коснуться в центрального шара того же радиуса. В размерности 8 ответ — 240; такую конфигурацию можно получить, если разместить шары в точках решётки Е₈ с минимальной нормой. Это было доказано в 1979 году[7][8].

Решение задачи о контактном числе известно только в размерностях 1, 2, 3, 4, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, также связан с особыми свойствами решётки Е₈ и её 24-мерного аналога решётки Лича.

Тэта-функция решётки Λ определяется как сумма

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.}$

Она является голоморфной функцией на верхней полуплоскости. Кроме того, тэта-функция чётной унимодулярной решётки ранга n является модульной формой веса n/2.

С точностью до нормализации, есть единственная модульная форма веса 4: это ряд Эйзенштейна G₄(τ). То есть тэта-функция решётки E₈ должна быть пропорциональна G₄(τ). Это даёт

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}}$

где σ₃(n) является функцией делителей и ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$.

Отсюда следует, что число векторов нормы 2n в решётке Е₈ равно ${\displaystyle 240\cdot }$(сумма кубов делителей n). Это последовательность A004009 в OEIS:

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).}$

Тета-функция решётки Е₈ может быть записана в терминах тета-функций Якоби следующим образом:

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)}$

где

${\displaystyle \theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.}$

Код Хэмминга H(8,4) — это двоичный код длины 8 и 4-го ранга; то есть, это 4-мерное подпространство векторного пространства конечной (F₂)⁸. Написание элементов (F₂)⁸ в качестве 8-разрядных целых чисел в шестнадцатеричный код H(8,4) может быть явно записано как

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Код H(8,4) является самодвойственным кодом типа II. Он имеет минимальный вес Хэмминга 4; это означает, что любые два кодовые слова отличаются по крайней мере на 4 бита. Для двоичных кодов 4-го ранга длины 8 это является максимумом.

По двоичному коду C длины n можно построить решётку Λ, взяв множество всех векторов ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} ^{n}}$ таких, что ${\displaystyle x}$ совпадает (по модулю 2) с кодовым словами из C часто удобно масштабировать Λ с коэффициентом 1/√2,

${\displaystyle \Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.}$

Применение данной конструкции к самодвойственному коду типа II даёт чётную, унимодулярную решётку. В частности, для кода Хемминга H(8,4) получаем решётку Е₈.

Задача отыскания явного изоморфизма между полученной решёткой и решёткой E₈ определённой выше не вполне тривиальна.

Решётка Е₈ используется при определении целых октонионов аналогично целым кватернионам.

Целые октонионы, естественно, образуют решётку в O. Эта решётка подобна решётке Е₈ с коэффициентом ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$. (Минимальная норма в целых октонионах равна 1, а не 2).

Целые октонионы образуют неассоциативное кольцо.