Четырёхмерная топология

Гомотопический тип односвязного компактного 4-мерного многообразия зависит только от его формы пересечений.

• По теореме Фридмана, многообразия такого типа классифицируются с точностью до гомеоморфизма формой пересечения и Z/2Z-инвариантом, так называемым классом Кёрби — Зибенманна.
  • Более того, может возникнуть любая комбинация унимодулярной формы и класса Кёрби — Зибенманна, за исключением случая, когда форма чётна — в этом случае класс Кёрби — Зибенманна должен быть равен ${\displaystyle \tau /8{\pmod {2}}}$, где ${\displaystyle \tau }$ обозначает сигнатуру формы пересечений.

Примеры:

• В частном случае, когда форма равна 0, теорема даёт 4-мерный случай топологической гипотезы Пуанкаре.
• Если форма равна E₈, получается так называемое E8-многообразие. Это многообразие не допускает триангуляции.
• Для формы Z, есть два многообразия в зависимости от класса Кёрби — Зибенманна: 2-мерное комплексное проективное пространство и фальшивое проективное пространство (того же гомотопического типа, но не гомеоморфное ему).
• Когда ранг больше 28, число положительно определённых унимодулярных форм начинает расти чрезвычайно быстро. Поэтому появляется огромное количество соответствующих односвязных топологических 4-многообразий.

Классификация Фридмана может быть продолжена в некоторых случаях, когда фундаментальная группа не слишком сложна. Например, если она изоморфна Z, то существует классификация с использованием эрмитовых форм над групповым кольцом группы Z. В случае слишком больших фундаментальных групп (например, свободной группы с 2 образующими) метод Фридмана не применим, и очень мало известно о таких многообразиях.

Для любой конечно заданной группы существует гладкое компактное 4-мерное многообразие, фундаментальная группа которого изоморфна этой группе. Поскольку не существует алгоритма, позволяющего определить, являются ли два задания группы изоморфными, не существует и алгоритма, чтобы определить, когда два многообразия имеют изоморфные фундаментальные группы. Это одна из причин, почему значительная часть работ о 4-мерных многообразиях рассматривают односвязной случай: известно, что в общем случае многие задачи неразрешимы.

Для многообразия размерности не более чем 6 любая кусочно-линейная структура может быть сглажена единственным образом.[1] В частности, классификация 4-мерных кусочно-линейных многообразий не отличается от теории 4-мерных гладких многообразий.

Поскольку топологическая классификация известна, классификация односвязных компактных гладких 4-многообразий сводится к двум вопросам:

1. Какие топологические многообразия являются сглаживаемыми?
2. Как расклассифицировать гладкие структуры на сглаживаемых многообразиях?

На первый вопрос имеется почти полный ответ. Во-первых, класс Кёрби — Зибенманна должен обнулиться, и во-вторых:

• Если форма пересечений знакоопределённая, то теорема Дональдсона дает полный ответ: гладкая структура существует тогда и только тогда, когда форма диагонализуема.
• Если форма не знакоопределённая и нечётная, то гладкая структура существует.
• Если форма не знакоопределённая и чётная, мы можем предположить, что она имеет неположительную сигнатуру (иначе изменим ориентацию). В этом случае ответ зависит от размерности формы ${\displaystyle d}$ и её сигнатуры ${\displaystyle \tau }$.
  • Если ${\displaystyle 8d\geqslant 11\tau }$, то гладкая структура существует; она задается путём взятия связной суммы нескольких копий K3-поверхностей и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$.
  • Если ${\displaystyle 8d\leqslant 10\tau }$, то по теореме Фурута гладкой структуры не существует.
  • В оставшемся зазоре, между 10/8 и 11/8, ответ по большей части неизвестен. Так называемая «11/8 гипотеза» гласит, что гладкой структуры не существует, если размерность/|сигнатура| меньше 11/8.

На сегодня не известно ни одного сглаживаемого многообразия, для которого ответ на второй вопрос был бы известен. В настоящее время не существует ни одной правдоподобной гипотезы о том, как данная классификация может выглядеть.

Дональдсон показал, что на некоторых односвязных компактных 4-мерных многообразиях, таких как поверхности Долгачёва, есть счётно-бесконечное число различных гладких структур.

Есть несчётное количество различных гладких структур на R⁴.