K3-поверхность

K3-поверхность есть связная односвязная компактная комплексная поверхность (то есть комплексное многообразие комплексной размерности два), допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.[1]

Квартика в

Вещественные точки некоторой квартики

Одним из самых простых примеров K3-поверхностей даётся гладкими поверхностями четвёртой степени в комплексном проективном пространстве. Для того, чтобы доказать, что эти поверхности удовлетворяют определению K3-поверхности, однако, требуется некоторое знакомство с теорией линейных расслоений.

Именно, с точки зрения линейных расслоений, однородные функции степени на проективном пространстве суть сечения линейного расслоения  — -ной степени тавтологического расслоения . Если  — некоторое линейное расслоение, и  — его сечение, притом его нулевой уровень есть гладкое подмногообразие, то его дифференциал определяет в каждой точке отображение , ядро которого есть в точности . Тем самым, учитывая гладкость , имеем изоморфизм расслоений . Этот фактор называется нормальным расслоением; в частности, видим, что нормальное расслоение к гладкой квартике изоморфно .

С другой стороны, нормальное расслоение вписывается в точную последовательность . Дуализируя, получаем точную последовательность , и, вычисляя старшую внешнюю степень и пользуясь её функториальными свойствами, имеем изоморфизм линейных расслоений , или, по двойственности, (эта формула называется формулой присоединения). Применяя формулу присоединения к случаю, когда (каноническое расслоение которого изоморфно согласно точной последовательности Эйлера), имеем . В частности, когда  — гладкая гиперповерхность степени , её каноническое расслоение тривиально. Для отсюда следует, что гладкая кубическая кривая на плоскости является эллиптической кривой, для отсюда следует наличие нигде не зануляющейся голоморфной 2-формы на поверхности четвёртой степени в проективном пространстве (вообще же отсюда следует, что гладкая гиперповерхность степени в является многообразием Калаби-Яу).

Осталось доказать односвязность квартики. Для этого рассмотрим вложение по линейной системе , относительно которого гиперплоские сечения высекают на образе ровно нулевые уровни однородных полиномов степени четыре (тем самым наша квартика есть подходящее гиперплоское сечение образа при таком вложении). По теореме Лефшеца о гиперплоском сечении оно устанавливает изоморфизм фундаментальных групп , а фундаментальная группа комплексного проективного пространства, как известно, тривиальна. Таким образом, гладкая квартика ещё и односвязна, и, стало быть, является K3-поверхностью.

В вышеизложенном единственное принципиальное свойство  — наличие у расслоения, двойственного к каноническому, сечения, нулевой уровень которого — гладкая поверхность. Тем же свойством обладает любое трёхмерное многообразие Фано, например . В данном случае антиканоническое расслоение ограничивается на каждый из сомножителей как его собственное антиканоническое расслоение, то есть , так что всякий антиканонический дивизор пересекает каждую из таких «координатных осей» в двух точках. Таким образом, такая K3-поверхность будет обладать тремя инволюциями: переставляющими точки пересечения с первым, вторым и третьим сомножителем. Аналогичная пара инволюций также имеется на кривой в , пересекающей оба сомножителя по два раза. Как известно, биголоморфно квадрике в , а такая кривая будет лежащей на квадрике эллиптической кривой. Эти две инволюции в данном случае будут порождать действие группы , свободного произведения, изоморфного бесконечной группе диэдра. Таким образом, либо орбиты этого действия на эллиптической кривой плотны, либо же это действие пропускается через конечный фактор (то есть какую-то группу диэдра конечного порядка), и все его орбиты конечны. Это утверждение имеет инкарнацию в элементарной геометрии, известную как поризм Понселе. В случае K3-поверхности три инволюции порождают действие куда более сложного тройного свободного произведения , интересное с точки зрения голоморфной динамики.

Риччи-плоская метрика и куммеровы K3-поверхности

Все K3-поверхности кэлеровы (это доказал Сиу). Поскольку на них имеется нигде не зануляющаяся голоморфная форма старшей степени, к ним применима теорема Калаби — Яу, то есть для каждого класса , представляемого как симплектическая форма кэлеровой метрики , существует метрика нулевой кривизны Риччи в данном классе. Вместе с тем, эту метрику невозможно написать явно: теорема Калаби — Яу есть лишь теорема о существовании, но ни в коей мере не явная конструкция.

Единственный случай, когда существует хоть какое-то приближение — это случай так называемых куммеровых поверхностей. Пусть  — комплексный тор, то есть фактор , где  — решётка ранга четыре. Рассмотрим фактормногообразие . Стандартная голоморфная 2-форма на (спускающаяся с ) инвариантна относительно умножения на , стало быть, она спускается на неособый локус в факторе. Особенности же имеют вид ; раздутие в такой особенности локально есть кокасательное расслоение к , и стандартная голоморфная 2-форма продолжается в такое раздутие. Особенности это в точности точки 2-кручения на четырёхмерном торе, их штук. Итак, раздувая эти квадратичных особенностей, можно получить поверхность с тривиальным каноническим классом. Легко видеть, что она односвязна. Такая K3-поверхность называется куммеровой K3-поверхностью, связанной с комплексным тором . В отличие от предыдущих примеров, такая поверхность может быть уже не вкладываться в проективное пространство, если не был проективным изначальный тор .

Риччи-плоская метрика на тотальном пространстве голоморфного кокасательного расслоения к достаточно хорошо известна: это метрика Калаби — Эгучи — Хансона. Сложный аналитический вопрос состоит в том, как склеить её с плоской метрикой на гладкой части фактора тора при вдувании новых рациональных кривых. Для этого обе метрики необходимо менять глобально. Этот вопрос изучал Дональдсон.[2] В его оптике он связан с вопросами о конструкциях многообразий со специальными голономиями (такими как G2-многообразия), которые, в отличие от K3-поверхностей, не имеют алгебраико-геометрического описания.

Топология K3-поверхностей

Келер

Топология куммеровых K3-поверхностей особенно понятна. Так, её второе число Бетти равняется : происходят с изначального четырёхмерного тора, а  — из шестнадцати вдуваемых кривых. Стало быть, эйлерова характеристика у них равна .

Оказывается, то же самое верно и для любой другой K3-поверхности: все K3-поверхности диффеоморфны. Более того, они, что называется, деформационно эквивалентны: любые две комплексные структуры K3-поверхности можно связать непрерывным путём в пространстве всех комплексных структур. Решётка с её родной формой пересечения изоморфна , где  — решётка E8, а  — стандартная гиперболическая решётка. В частности, сигнатура решётки вторых когомологий равняется .

Поскольку все K3-поверхности кэлеровы, имеет смысл говорить об их числах Ходжа: у всех K3-поверхностей они равны , . Отсюда при помощи теоремы Ходжа об индексе легко вывести утверждение о сигнатуре.

Эллиптические K3-поверхности

Кодаира

Весьма примечательна геометрия K3-поверхностей, на которых имеется эллиптическая кривая. Именно, пусть  — K3-поверхность, и  — эллиптическая кривая. Из формулы присоединения (см. выше) мы знаем, что . Но каноническое расслоение и у K3-поверхности, и у эллиптической кривой тривиально. Стало быть, и нормальное расслоение эллиптической кривой тривиально. Это означает, что эллиптическая кривая на K3-поверхности допускает семейство деформаций, которые не пересекают эту кривую (и друг друга). Эти деформации (включая и вырождающиеся) будут параметризовываться рациональной кривой, то есть одна эллиптическая кривая на K3-поверхности определяет отображение , слои которого суть и её деформации. Это семейство называется пучком Лефшеца или эллиптическим расслоением. Сама такая K3-поверхность называется эллиптической K3-поверхностью.

У эллиптического расслоения на K3-поверхности всегда имеются особые слои (поскольку эйлерова характеристика K3-поверхности равна , а у эллиптической кривой она нулевая). Если все слои наиболее возможно простые — то есть просто декартовы листы, имеющие эйлерову характеристику , то особых слоёв должно быть (вообще говоря, их будет меньше). На базе вне точек, слои над которыми особы имеется плоская связность, называемая связностью Лиувилля — Арнольда. Монодромия такой связности лежит в группе . Рассмотрим группу , получающаюся как прообраз в универсальном накрытии . Это центральное расширение при помощи . Обозначим образующую этой циклической подгруппы за . Оказывается, существует гомоморфизм такой, что . Аналог теоремы Гаусса — Бонне, доказанная Концевичем и Сойбельманом, утверждает, что если на поверхности с проколами имеется плоская связность с монодромией , то имеет место равенство , где  — монодромия вокруг прокола . В частности, если все равны единице, получаем всё те же двадцать четыре прокола.[3]

Теорема Торелли

Если имеется голоморфное семейство K3-поверхностей над единичным диском, расслоение их вторых когомологий тривиализуется связностью Гаусса — Манина. Вместе с тем, как вариация структур Ходжа, оно уже не будет тривиальным (если не было тривиальным само семейство).

Структура Ходжа типа той, что на вторых когомологиях K3, однозначно определяется прямой , порождённой классом голоморфной 2-формы . Поскольку есть форма объёма риччи-плоской метрики, а умножается на себя нулём, эта прямая изотропна относительно формы пересечения. Таким образом, она может лежать только на некоторой гладкой квадрике в . Условие же выделяет на этой квадрике некоторое открытое подмножество. Его можно описать следующим образом как однородное пространство.

Рассмотрим двумерное пространство . Оно инвариантно относительно комплексного сопряжения, и потому является комплексификацией некоторого двумерного вещественного подпространства . Зададим на нём вещественный оператор как умножение на вдоль и на вдоль . На вещественной плоскости этот оператор действует как поворот на и тем самым определяет ориентацию. Из соотношения следует, что форма пересечения на этой плоскости положительно определена. Обратно, если имеется такая плоскость, то в комплексификации имеется ровно две изотропные прямые, и выбор только одной из них даёт необходимую ориентацию. Таким образом, искомое открытое подмножество в квадрике — это то же самое, что множество ориентированных двумерных плоскостей с положительно определённым скалярным произведением в пространстве сигнатуры . Группа изометрий такого пространства действует на таких плоскостях транзитивно со стабилизатором . Итак, этот фактор называется пространством периодов. Это, как видно из описания как открытого подмножества в квадрике, комплексное многообразие (это же можно увидеть и из вещественного описания, отождествляя ориентированную двумерную плоскость с плоскостью Аргана, то есть попросту комплексными числами — эквивалентность этих описаний есть несложное упражнение). С каждым семейством K3-поверхностей над диском связано голоморфное отображение из диска в это пространство периодов, называемое отображением периодов. Локальная теорема Торелли утверждает, что семейство K3-поверхностей над небольшим диском однозначно восстанавливается по своему отображению периодов.

Если мы хотим рассматривать только алгебраические K3-поверхности, то разумно фиксировать класс гиперплоского сечения , он же класс кэлеровой формы (K3-поверхности с фиксированным классом гиперплоского сечения называются поляризованными). Поскольку , имеем дополнительное ограничение: . Поскольку , это означает, что в таком случае может принимать значения только в подмножестве пространства периодов, устроенном как . Это фактор группы по максимальной компактной подгруппе, и по теореме Картана биголоморфна некоторой ограниченной области в комплексном пространстве (в данном случае ). Эта область похожа на область Зигеля, и для рода два тесно с ней связана: сопоставление абелевой поверхности её куммеровой K3-поверхности даёт отображение области Зигеля рода два в область периодов. Модулярные формы на этой области дают интересную связь между классической теорией чисел и алгебраической геометрией.

Вместе с тем, действие ортогональной группы, сохраняющей решётку , на пространстве периодов, весьма далеко от того, чтобы фактор по этому действию имел хоть какой-то геометрический смысл. Так, образ области Зигеля при указанном выше сопоставлении — аналитическое подмногообразие большой коразмерности, но при этом любая алгебраическая K3-поверхность может быть сколь угодно малой деформацией превращена в куммерову K3-поверхность — то есть сдвиги этого образа под действием решётки образуют всюду плотное множество. Поэтому для формулировки глобального утверждения разумнее говорить не об изоморфизме факторов, а о голоморфном отображении, перестановочном с действием целочисленной ортогональной группы.

Именно, рассмотрим множество всех комплексных структур кэлерова типа на K3-поверхности. Фактор его по действию связной компоненты группы диффеоморфизмов — гладкое комплексное многообразие, хотя и нехаусдорфово (для кривых аналогичный фактор оказывается хаусдорфов и хорошо известен как пространство Тейхмюллера). Тогда отображение, отождествляющее точки, не отделимые друг от друга непересекающимися окрестностями, хорошо определено, и фактор по нему — гладкое комплексное многообразие, отображающееся отображением периодов на пространство периодов, и притом биголоморфно. Это утверждение и есть глобальная теорема Торелли.

Вырождения K3-поверхностей

Куликов

Рассмотрим случай голоморфного семейства над диском, все слои которого, кроме центрального — K3-поверхности, а центральный — некий особый дивизор с нормальными пересечениями, компоненты которого — гладкие поверхности кратности один, а всё тотальное пространство гладко. Такое семейство называется хорошим вырождением. Аналогичный вопрос для эллиптических кривых (см. выше) был изучен Кодаирой: он показал, что минимальные (то есть не допускающие сдутий) вырождения эллиптических кривых имеют тривиальное каноническое расслоение, и дал классификацию таких вырождений (более-менее в терминах диаграмм Дынкина). В случае вырождений поверхностей помимо раздутия центрального слоя существуют ещё так называемые модификации — нетривиальные бирациональные преобразования тотального пространства, сохраняющие слои и бирегулярные на каждом гладком слое. Вик. Куликов доказал, что после некоторой модификации тотальное пространство минимального хорошего вырождения K3-поверхностей также имеет тривиальное каноническое расслоение, и что перестройкой вырождение можно свести к одному из трёх случаев:

  • центральный слой — гладкая K3-поверхность,
  • центральный слой есть объединение гладких поверхностей , притом поверхность пересекается только с поверхностями , все пересечения — эллиптические кривые, поверхности и рациональны, а поверхности  — линейчатые эллиптические поверхности,
  • центральный слой есть объединение рациональных поверхностей, пересекающихся по рациональным кривым; комплекс, вершины которого — неприводимые компоненты центрального слоя, рёбра — кривые, по которым они пересекаются, а грани — точки, в которых сходятся эти кривые, есть триангуляция двумерной сферы.

Примером вырождения II типа по Куликову может служить вырождение гладкой квартики в объединение двух квадрик (пересечение их — эллиптическая кривая), а вырождения III типа — вырождение гладкой квартики в объёдинение четырёх плоскостей (то есть поверхность тетраэдра — если вершины этого тетраэдра вещественны, упомянутая триангуляция будет двойственна к той, что дана этим тетраэдром).

Вырождения риччи-плоских метрик на K3-поверхностях

К вырождениям K3-поверхностей можно относиться по-разному. Помимо вышеописанной алгебраико-геометрической перспективы, на них можно смотреть с точки зрения дифференциальной геометрии. Именно, зафиксируем комплексную структуру на K3-поверхности , и рассмотрим кэлеров конус , то есть конус классов таких, что для какой-то кэлеровой метрики . Это некоторый открытый конус, лежащий в конусе классов с и для всякой кривой . Благодаря теореме Калаби — Яу, каждой точке этого конуса соответствует единственная риччи-плоская метрика. А что будет происходить с этой метрикой, если устремить точку конуса к его границе?

Ответ зависит, конечно, от точки на границе, к которой мы её устремляем. Например, если — куммерова K3-поверхность, и -форма, поднимающаяся с формы на абелевой поверхности, с которой она связана, то класс численно эффективен (то есть лежит в замыкании кэлерова конуса), и (такие классы называются объёмными). Вместе с тем, кэлеровым он не является, поскольку имеем , где — любая из шестнадцати исключительных кривых. В этом случае предел метрик хорошо определён (в смысле предела Громова — Хаусдорфа, не зависит от пути в кэлеровом конусе, и сходится к метрическому пополнению некоторой неполной риччи-плоской кэлеровой метрики, определённой вне шестнадцати исключительных кривых. Общий результат такого рода (для произвольных многообразий Калаби — Яу) был доказан Тосатти, Жангом и соавторами, но для куммеровых K3-поверхностей был получен ещё Лебрюном.[4]

Вместе с тем, если класс не является объёмным, то вырождение происходит иначе, и происходит т. н. схлопывание — предельное пространство имеетв определённом смысле меньшую размерность. Например, если  — эллиптическая K3-поверхность, и  — обратный образ класса Фубини — Штуди с базы эллиптического пучка, то . Предельное поведение риччи-плоских метрик в такой ситуации было исследовано Гроссом и Вильсоном.

Динамические свойства K3-поверхностей

K3-поверхности часто допускают автоморфизмы, динамика которых хаотична (например, в том смысле, что их топологическая энтропия положительна, и имеется собственный класс в с собственным числом больше ). Например, таким свойством обладает автоморфизм, получающийся на куммеровой поверхности, связанной с тором , подъёмом арнольдова автоморфизма «окрошки из кошки», определённого матрицей . Мера максимальной энтропии в этом случае абсолютно непрерывна по мере Лебега; Канта и Дюпон доказали, что в алгебраическом случае все K3-поверхности с автоморфизмом такого свойства куммеровы (впоследствии Тосатти и Филип распространили это утверждение на неалгебраические K3-поверхности; этот результат был использован ими для построения классов на границе кэлерова конуса, сходимость риччи-плоских метрик при стремлении к которым обладает патологическими свойствами).

Голоморфную динамику описанной выше поверхности с тремя инволюциями изучал Барри Мазур.

Используя теорему Торелли, Макмуллен построил автоморфизмы K3-поверхностей, которые допускают диски Зигеля — то есть открытые области, сохраняемые автоморфизмом, и биголоморфные произведению двух дисков, на которых действие автоморфизма сопряжено повороту , где  — числа, не являющиеся корнями из единицы.

История

Первые примеры K3-поверхностей были исследованы Эйлером в процессе решения некоторых диофантовых уравнений (позже его идеи были развиты Рамануджаном). Геометрический подход к K3-поверхностям был заложен гораздо позже, в трудах Кэли, Куммера и Энрикеса.

Название «K3-поверхность» предложил в 1958 году Андре Вейль (в честь Куммера, Келера и Кодаиры). Он также пытался доказать теорему Торелли для алгебраических K3-поверхностей. Несколько позже Кодаира доказал, что все K3-поверхности, в том числе и неалгебраические, деформационно эквивалентны (в частности, диффеоморфны). Также он расклассифицировал особые слои у эллиптических K3-поверхностей.

Локальная теорема Торелли для алгебраических K3-поверхностей была доказана в 1965 году Тюриной, а глобальная — Пятецким-Шапиро и Шафаревичем в 1971 году. На неалгебраические K3-поверхности глобальную теорему Торелли распространили Бёрнс и Рапопорт в 1975. В 1977 году расклассифицировал вырождения K3-поверхностей Виктор Куликов[5] и описал K3-поверхности с конечными группами автоморфизмов Никулин[6].

Примечания

  1. Всякая алгебраическая комплексная K3-поверхность является K3-поверхностью в смысле дифференциально-геометрического определения; обратное, вообще говоря, неверно.
  2. S. K. Donaldson. Calabi-Yau metrics on Kummer surfaces as a model gluing problem, July 27, 2010
  3. Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Affine structures and non-archimedean analytic spaces, Submitted on 28 Jun 2004
  4. Valentino Tosatti. Collapsing Calabi-Yau manifolds, 2020
  5. Вик. С. Куликов, Вырождения K3 поверхностей и поверхностей Энриквеса, Изв. АН СССР. Сер. матем., 41:5 (1977), 1008–1042
  6. В. В. Никулин, Конечные группы автоморфизмов келеровых поверхностей типа K3, Тр. ММО, 38, Изд-во Моск. ун-та, М., 1979, 75–137
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.