Связность Гаусса — Манина

Пусть ${\displaystyle Y\to X}$ — расслоение, слои которого ${\displaystyle Y_{x}}$ — гладкие многообразия. Рассмотрим векторное расслоение ${\displaystyle E\to X}$ со слоями ${\displaystyle E_{x}=H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})}$. Иными словами, повесим вместо каждого слоя его ${\displaystyle k}$-тые когомологии де Рама. По теореме Эресманна, гладкие расслоения локально тривиальны, так что в достаточно малой окрестности по базе можно отождествить слои друг с другом, и провозгласить гладкими сечениями ${\displaystyle E}$ сечения, которые соответствуют гладким вариациям класса когомологий при тривиализации. Строго говоря, мы определили не расслоение, а только пучок, но это действительно будет пучок сечений расслоения.

Юрий Иванович Манин

Для простоты предположим на минутку, что слои компактны. Когомологии де Рама компактного многообразия изоморфны сингулярным когомологиям ${\displaystyle H^{k}(Y_{x},\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {R} }$, таким образом, в каждом слое ${\displaystyle E_{x}}$ имеется решётка целочисленных когомологий, гладко зависящая от точки ${\displaystyle x}$. Связность Гаусса — Манина определяется как связность, относительно которой локальные сечения, в каждой точке принимающие значения в этой целочисленной решётке, являются плоскими.

Описание связности Гаусса — Манина через плоские сечения даёт удобный способ её визуализировать, однако для её существования наличие целочисленной структуры на когомологиях совершенно не необходимо. Она допускает следующее описание. Выберем в расслоении ${\displaystyle Y\to X}$ связность Эресманна ${\displaystyle H\subset TY}$. Если ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ — какое-то сечение, оно может быть реализовано набором замкнутых форм ${\displaystyle \sigma _{x}\in \Omega ^{k}(Y_{x})}$. Выбранная связность Эресманна позволяет продолжить его до единой формы ${\displaystyle \sigma \in \Omega ^{k}(Y)}$, доопределяя её на направлениях, трансверсальных слоям, условием ${\displaystyle \iota _{h}\sigma =0}$ для всех ${\displaystyle h\in H}$. Заметим, что эта форма не обязана быть замкнутой. Определим связность Гаусса — Манина ${\displaystyle \nabla }$ таким образом: ${\displaystyle (\nabla _{v}s)_{x}=\left[\left(\mathrm {Lie} _{\widetilde {v}}\sigma \right)|_{Y_{x}}\right]\in H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})}$. Здесь ${\displaystyle v}$ — произвольное векторное поле на базе, а ${\displaystyle {\widetilde {v}}}$ — его поднятие при помощи связности Эресманна, то есть сечение ${\displaystyle H}$, при проекции на базу переходящее в ${\displaystyle v}$. Проверка того, что это хорошо определённая связность (то есть что такая производная Ли будет замкнута в ограничении на слои, и эта операция удовлетворяет тождеству Лейбница), не составляет труда; чуть сложнее показать, что она не зависит от выбора связности Эресманна.

Это определение связности Гаусса — Манина изящно формулируется в терминах дифференциально градуированных алгебр. Это позволяет перенести определение связности Гаусса — Манина в некоммутативную геометрию: Гетцлер[1], и Каледин[2] построили связность Гаусса-Манина на периодических циклических гомологиях.

Связность Гаусса — Манина в первых когомологиях семейства эллиптических кривых с уравнениями ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=\lambda xyz}$ над проколотой сферой Римана, параметризованной комплексным параметром ${\displaystyle \lambda }$, определяет дифференциальное уравнение, известное как уравнение Пикара — Фукса. Гаусс рассматривал аналогичное уравнение для семейства кривых ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$; общее описание таких уравнений в случае, когда база является алгебраической кривой, было дано Маниным[3], а в общем случае Гротендиком[4]. Ему принадлежит название «связность Гаусса — Манина», а также абстрактное алгебраико-геометрическое описание этой связности как одной из стрелок в спектральной последовательности Лере для подходящего пучка.

Владимир Арнольд

Связность Гаусса — Манина используется также в симплектической геометрии. Именно, пусть ${\displaystyle Y\to X}$ — расслоение, слои которого лагранжевы торы. Касательное пространство к базе такого расслоения можно отождествить с некоторым подпространством в пространстве сечений нормального расслоения к слою, висящему над этой точкой. Но у лагранжева подмногообразия нормальное расслоение изоморфно кокасательному, так что эти сечения определяют дифференциальные 1-формы на слое. Оказывается, эти формы замкнуты, и их классы когомологий суть всевозможные классы первых когомологий слоя. Таким образом, касательное расслоение к базе лагранжева расслоения изоморфно расслоению первых когомологий слоёв, и, следовательно, имеет каноническую плоскую связность, связность Гаусса — Манина. В механике это утверждение имеет следствие, известное как теорема Лиувилля — Арнольда: у гамильтоновой системы, имеющей столько же независимых находящихся в инволюции интегралов, сколько степеней свободы, уравнения движения могут быть решены в квадратурах. Голоморфная версия теоремы Лиувилля — Арнольда определяет плоскую связность с монодромией ${\displaystyle \mathrm {SL} (2n,\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {R} ^{2n}}$ вне некоторого дивизора на ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}}$, базе голоморфного лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии. Наиболее наглядный случай, когда тотальное пространство — K3-поверхность, слои — эллиптические кривые, а база — сфера Римана с 24 проколами, изучена Концевичем и Сойбельманом[5].