Сфера Римана

Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость

Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Координаты точек трёхмерного пространства будем обозначать ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )\in \mathbb {R} ^{3}}$. В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ рассмотрим сферу ${\displaystyle S}$, касающуюся плоскости ${\displaystyle O\xi \eta }$ в точке ${\displaystyle (0;0;0)}$, с диаметром ${\displaystyle 1}$. Такая сфера задаётся уравнением

${\displaystyle S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta }$.

Каждой точке плоскости ${\displaystyle (\xi$ ;\eta ;0)\in O\xi \eta } можно поставить в соответствие точку сферы ${\displaystyle M\in S}$ следующим образом. Проведём через точку ${\displaystyle N=(0;0;1)}$ и ${\displaystyle (\xi$ ;\eta ;0)} прямую; эта прямая пересечёт сферу в ещё одной точке, которую и будем считать соответствующей точке ${\displaystyle (\xi$ ;\eta ;0)} . Такое соответствие называется стереографической проекцией с центром в ${\displaystyle N}$. Каждой точке плоскости оно однозначно сопоставляет точку сферы. Однако не каждой точке сферы сопоставляется точка плоскости: точке ${\displaystyle N}$ не соответствует никакая точка плоскости. Таким образом, мы имеем взаимо-однозначное соответствие между плоскостью ${\displaystyle O\xi \eta }$ и ${\displaystyle S\setminus \{N\}}$.

Плоскость ${\displaystyle O\xi \eta }$ можно отождествить с комплексной плоскостью ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle x+iy=(\xi ,\eta ,0)}$. Тогда определённое выше соответствие задаёт непрерывное взаимо-однозначное отображение ${\displaystyle \tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\}}$. Чтобы достроить это отображение до биекции на всю сферу, дополним множество ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ещё одной точкой, которую будем считать прообразом точки ${\displaystyle N}$. Эту точку будем называть бесконечно удалённой точкой и обозначим её через ${\displaystyle \infty }$. Мы получили биекцию ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S}$. Множество ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ называется расширенным множеством комплексных чисел, сфера ${\displaystyle S}$ — сферой Римана.[1]

Описанная конструкция часто используется во многих учебниках для наглядного определения расширенного множества комплексных чисел. Действительно, топологию на этом множестве можно определить, положив открытыми множествами прообразы открытых множеств по ${\displaystyle \pi }$, операции на бесконечность распространяются по непрерывности. Определение при помощи сферы Римана полностью описывает суть расширения множества комплексных чисел, к тому же, представляет её наглядную интерпретацию.

Сфера ${\displaystyle S}$, задаваемая в пространстве ${\displaystyle R^{3}}$ уравнением

${\displaystyle S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta }$,

вместе с отображением ${\displaystyle \pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, задаваемым как

${\displaystyle \pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}}$

называется сферой Римана.

Отображение в определении можно заменить на обратное, смысл от этого не изменится.

Численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел вводятся тремя способами:

• аффинная комплексная координата ${\displaystyle z}$, способная принимать значение ${\displaystyle \infty }$;
• проективные однородные комплексные координаты ${\displaystyle [z_{0}:z_{1}]}$;
• трёхмерные вещественные координаты ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$, связанные уравнением:

${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta }$

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

${\displaystyle z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}}$

${\displaystyle z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta$ :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end{matrix}}\right.}

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z|^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}}$[1]

Сфера Римана позволяет ввести на множестве ${\displaystyle \mathbb {C} }$ иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется сферической метрикой. Она определяется как евклидова метрика между соответствующими точками на сфере Римана. То есть, для двух чисел ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}}$

Нетрудно получить прямое выражение такого расстояния.

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}}$

Евклидова и сферические метрики эквивалентны на ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Особенность сферической метрики в том, что она может быть продолжена на расширенное множество комплексных чисел, в отличие от евклидовой. Такое продолжение определяется точно также. Для двух элементов ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}}$

Прямое выражение для такого расстояния, когда одна из точек бесконечность, записывается иначе.

${\displaystyle \rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2}}}}}$[1]

Автоморфизмами области ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} \cup \infty }$ называются голоморфные биективные отображения этой области в себя. В случае автоморфизмов всего расширенного множества комплексных чисел обычно используют термин «автоморфизмы сферы Римана» — пример того, как термин «сфера Римана» используется в качестве синонима к термину «расширенное множество комплексных чисел». Автоморфизмами сферы Римана являются дробно-линейные преобразования (или преобразования Мёбиуса). Пусть

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0}$

Дробно-линейное преобразование ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty }$ определяется как

${\displaystyle f(z)={\frac {az+c}{bz+d}}}$,

достроенное до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.

Дробно-линейные отображения на сфере Римана перводят окружности в окружности.[2]

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту ${\displaystyle \theta }$ отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. ${\displaystyle 0<\theta <\pi /2}$ (см. рис.)

В таком случае верны соотношения:

${\displaystyle z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta }$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix}}\right.}$

В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

• Римана сфера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Riemann sphere, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

1. Шабат, 1969, с. 16.
2. Шабат, 1969, с. 47.