Когомологии де Рама

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ с внешним дифференциалом ${\displaystyle d\,^{k}}$ в качестве дифференциала.

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{\to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots }$

Здесь ${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$ — пространство гладких функций на ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ — пространство 1-форм, то есть ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ — пространство ${\displaystyle k}$-форм. Заметим, что ${\displaystyle d^{k+1}d^{k}=0}$. ${\displaystyle k}$-мерная группа когомологий ${\displaystyle H^{k}}$ этого коцепного комплекса является его мерой точности в ${\displaystyle k}$-м члене и определяется как

${\displaystyle H^{k}(\Omega ^{\bullet },\;d^{\bullet })=\operatorname {Ker} d^{k}/\operatorname {Im} d^{k-1}.}$

• Форма ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ называется замкнутой, если ${\displaystyle d^{k}\alpha =0}$, в этом случае ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ker} d^{k}}$.
• Форма ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ называется точной, если ${\displaystyle \alpha =d^{k-1}\gamma }$, для некоторой ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{k-1}}$, то есть ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Im} d^{k-1}}$.

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ в ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность ${\displaystyle \alpha -\beta =d\gamma }$ является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$.

Когомологическим классом ${\displaystyle [\alpha ]}$ формы ${\displaystyle \alpha }$ называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от ${\displaystyle \alpha }$ на точную форму — то есть множество форм вида ${\displaystyle \alpha +d\gamma }$.

${\displaystyle k}$-мерная группа когомологий де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ — это факторгруппа всех замкнутых форм в ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия ${\displaystyle M}$, имеющего ${\displaystyle N}$ связных компонент,

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbf {R} ^{N}.}$

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если ${\displaystyle \omega }$ — замкнутая ${\displaystyle k}$-форма, а ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — гомологичные ${\displaystyle k}$-цепи (то есть ${\displaystyle M-N}$ является границей ${\displaystyle (k+1)}$-мерной цепи ${\displaystyle W}$), то

${\displaystyle \int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,}$

поскольку их разность есть интеграл

${\displaystyle \int \limits _{\partial W}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.}$

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ в группу сингулярных когомологий ${\displaystyle H^{k}(M;\;\mathbf {R} )}$. Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;\mathbf {R} ).}$

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях ${\displaystyle H^{k}(M;\;\mathbf {R} )}$ задаёт ${\displaystyle \smile }$-умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle k}$ связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия ${\displaystyle X}$ называются группы когомологий ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)}$.

• Если ${\displaystyle X}$ является гладким и полным многообразием, а характеристика поля ${\displaystyle \mathrm {char} \,k=0}$, то когомологии де Рама являются когомологиями Вейля.
• Если многообразие ${\displaystyle X}$ есть гладкое аффинное многообразие, а поле ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$, то справедлив следующий аналог теоремы де Рама:

  ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{an},\;\mathbb {C} ),}$

где ${\displaystyle X_{an}}$ — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию ${\displaystyle X}$.

• Например, если ${\displaystyle X}$ — дополнение к алгебраической гиперповерхности в ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )}$, то когомологии ${\displaystyle H^{p}(X,\;\mathbb {C} )}$ могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )}$ с полюсами на этой гиперповерхности.

Для любого морфизма ${\displaystyle f\colon X\to S}$ можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

${\displaystyle \sum _{p\leqslant 0}\Gamma (\Omega _{X/S}^{p}),}$

приводящий к относительным когомологиям де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)}$.

В случае, если многообразие ${\displaystyle X}$ является спектром кольца ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A}$, а ${\displaystyle S=\mathrm {Spec} \,B}$, то относительный комплекс де Рама совпадает с ${\displaystyle \Lambda \Omega _{A/B}^{1}}$.

Когомологии ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)}$ комплекса пучков ${\displaystyle \sum _{p\leqslant 0}f_{*}\Omega _{X/S}^{p}}$ на ${\displaystyle S}$ называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли ${\displaystyle f}$ — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на ${\displaystyle S}$.