Лебрюн, Клод

Выпускник Хансен-колледжа университета Райса (1977)[1], учился в аспирантуре в Оксфорде под руководством Пенроза, и в 1980 году защитил диссертацию Spaces of Complex Geodesics and Related Structures[2], после чего получил место в Стони-Бруке[3].

В 1994 году был приглашённым докладчиком на Международном математическом конгрессе в Цюрихе, тема доклада — Anti-self-dual metrics and Kähler geometry. В 2012 году был избран членом Американского математического сообщества. В 2016 году 60-летний юбилей Лебрюна был отмечен конференцией в Монреале.[4] В 2018 году Лебрюн получил премию фонда Саймонса,[5] а в 2020 году был произведён в выдающиеся профессоры (англ. SUNY Distinguished Professor) Стони-Брукского университета.

Диссертация Лебрюна углубляет труды его великого учителя в области теории твисторов. Именно, он рассматривает ${\displaystyle n}$-мерные комплексные многообразия, снабжённые голоморфной проективной связностью; локальные геодезические относительно такой связности допускают параметризацию ${\displaystyle (2n-2)}$-мерным комплексным многообразием. Каждая точка изначального многообразия определяет подмногообразие ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$ в пространстве геодезических, поскольку каждое комплексное касательное направление в точке допускает единственную геодезическую, касательной к которой оно является. Голоморфная проективная связность на изначальном многообразии может быть восстановлена по этой сетке подмногообразий в пространстве геодезических, а малые деформации комплексной структуры на нём соответствуют малым вариациям проективной связности. Для тривиального случая проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{2}}$ геодезические это проективные прямые, а параметризует их двойстванная проективная плоскость; тем самым диссертацию Лебрюна можно воспринимать как далеко идущее обобщение проективной двойственности.

Аналогичный результат был получен Лебрюном для комплексного многообразия с конформной связностью, сиречь голоморфной конформной структурой (или же полем квадратичных конусов) вкупе с тензором кручения, и пространства локальных изотропных геодезических на нём (то есть геодезических, касающихся этого поля конусов — иначе они называются светоподобными или нуль-геодезическими). В случае зануления тензора кручения, как было доказано Лебрюном, пространство изотропных геодезических допускает голоморфную контактную структуру, и обратно — наличие голоморфной контактной структуры на пространстве изотропных геодезических вынуждает кручение конформной структуры на изначальном пространстве обращаться в нуль. Этот результат имеет место только в случае, когда размерность комплексного многообразия 4 или выше; для трёхмерных многообразий Лебрюн построил каноническое вложение в четырёхмерное многообразие с конформной связностью, кривизна которой самодвойственна, при котором кручение изначальной структуры выражается через форму внешней кривизны этого вложения.

в Калифорнии в 1982 году, из архива Джорджа Бергмана

В 1984 году в Trans. Am. Math. Soc. была напечатана статья Лебрюна Twistor CR Manifolds and Three-Dimensional Conformal Geometry, в которой он распространил твисторную теорию также на вещественные трёхмерные многообразия с конформной структурой — то есть такие, на которых можно говорить о взаимной перпендикулярности векторов, но не их абсолютной длине (если вообразить, что времени нет, таковым, в сущности, является наше трёхмерное пространство: единица длины выбирается нами весьма произвольно, и до известной степени то, что единицу длины на Земле и единицу длины на Плутоне вообще можно осмысленно сравнивать, есть акт веры). Ему в соответствие ставится вещественно пятимерное многообразие с КР-структурой, то есть четырёхмерным контактным распределением, снабжённым полем операторов поворота на 90°, превращающим его в двумерное комплексное распределение, и к тому же удовлетворяющему условию интегрируемости, и семейством голоморфных рациональных кривых, касающихся этого комплексного распределения. Условие интегрируемости сводится к тому, что на уровне рядов Тейлора пятимерное многообразие в каждой точке можно воплотить как ряд Тейлора вещественной гиперповерхности в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ такой, что контактное подпространство будет в точности комплексно двумерной плоскостью, лежащей в вещественно пятимерном касательном пространстве к гиперповерхности, а оператор поворота на 90° будет в точности оператором умножения векторов в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ на ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$. Обратно, по пятимерному КР-многообразию с семейством рациональных кривых изначальное трёхмерное многообразие с конформной структурой восстанавливается однозначно.

Заметим, что существование подлинных локальных карт со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ на твисторах Лебрюна автоматически влекло бы аналитичность функций переклейки (в силу аналитичности комплексно дифференцируемых отображений), и следовательно наличие на изначальном трёхмерном многообразии аналитической структуры.

Лебрюн получил эту структуру хитроумной геометрической конструкцией, из которой интегрируемость этой КР-структуры была очевидна (а именно рассмотрев вектора в комплексификации кокасательного расслоения, изотропные относительно конформной структуры). Миша Вербицкий дал гораздо более простое описание КР-твисторов Лебрюна. Именно, если зафиксировать риманову метрику, определяющую конформную структуру на трёхмерном многообразии ${\displaystyle X}$, то КР-твисторы Лебрюна можно отождествить с тотальным пространством ${\displaystyle UTX}$ расслоением касательных векторов единичной длины. Касательное расслоение к ${\displaystyle UTX}$ раскладывается при помощи связности Леви-Чивиты в ортогональную прямую сумму ${\displaystyle T(UTX)=Ver\oplus Hor}$, где ${\displaystyle Ver_{v,x}=T_{v}(UT_{x})}$ — касательное пространство к единичной сфере в ${\displaystyle T_{x}X}$, а ${\displaystyle Hor_{v,x}}$ изоморфно проецируется на ${\displaystyle T_{x}X}$. Контактная плоскость в точке ${\displaystyle (v,x)}$ (где ${\displaystyle v\in T_{x}}$ — единичный вектор) задаётся как линейная оболочка ${\displaystyle Ver_{v,x}}$ и перпендикулярного подпространства ${\displaystyle v^{\perp }\subset T_{x}\cong Hor_{v,x}}$, а оператор поворота на 90° — как стандартная комплексная структура на сфере Римана по вертикали и как векторное умножение на ${\displaystyle v}$ по горизонтали (то есть в пределах ${\displaystyle v^{\perp }}$; напомним, что в размерности три задать евклидову структуру это всё равно что задать векторное произведение).[6]

Отсюда, например, можно вывести явное описание твисторов Лебрюна для круглой сферы ${\displaystyle S^{3}}$. Именно, реализуем её как экваториальную сферу в ${\displaystyle S^{4}}$. Единичный касательный вектор ${\displaystyle e\in T_{x}S^{3}}$ к ${\displaystyle S^{3}}$ в точке ${\displaystyle x\in S^{3}}$ можно воспринять как пару перпендикулярных единичных векторов ${\displaystyle \{e,n\}\in T_{x}S^{4}}$, где ${\displaystyle n_{x}}$ — единичная нормаль к ${\displaystyle S^{3}\subset S^{4}}$ в точке ${\displaystyle x}$. Они задают ортогональную комплексную структуру на пространстве ${\displaystyle T_{x}S^{4}}$, определённую условием ${\displaystyle I(n)=e}$. Обратно, всякая ортогональная комплексная структура на ${\displaystyle T_{x}S^{4}}$ определяет единичный касательный вектор к ${\displaystyle S^{3}}$ как образ единичной нормали под поворота на 90°. Расслоение над ${\displaystyle S^{4}}$, вешающее над каждой точкой круглой сферы множество ортогональных комплексных структур на касательном пространстве к ней — это классические твисторы, твисторное пространство в данном случае биголоморфно ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}}$, а проекция на ${\displaystyle S^{4}}$ есть кватернионное расслоение Хопфа ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}=\mathbf {P} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{4})\cong \mathbf {P} _{\mathbb {C} }(\mathbb {H} ^{2})\mapsto \mathbf {P} _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{2})=\mathbb {H} \mathbf {P} ^{1}\cong S^{4}}$. Соответственно, твисторы Лебрюна круглой сферы суть прообраз экваториальной ${\displaystyle S^{3}}$ при расслоении Хопфа, и тем самым вещественная гиперповерхность в ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}}$, граница трубчатой окрестности нормального расслоения к проективной прямой ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}\subset \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}}$.

Определение Вербицкого хорошо тем, что оно переносится на другой важный случай, когда на римановом многообразии имеется поле векторных произведений — а именно ${\displaystyle \mathrm {G} _{2}}$-многообразия; кроме того, оно позволяет определить гауссово отображение в абстрактной ситуации поверхности, лежащей в трёхмерном многообразии (сопоставляя точке поверхности единичную нормаль в ней). Однако из этого определения неочевидна ни интегрируемость этой твисторной структуры, ни даже её конформная инвариантность. Последняя может быть доказана, впрочем, изящным вычислением; из него в частности следует, что гауссово отображение поверхности в твисторы Лебрюна является голоморфным тогда и только тогда, когда эта поверхность вполне умбилична. В частности, из конформной инвариантности КР-структуры на твисторах Лебрюна следует, что конформные преобразования переводят вполне умбилические поверхности во вполне убмилические. Поскольку в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ таковыми являются только сферы и плоскости, отсюда следует классическая теорема Лиувилля о конформных отображениях. Условие голоморфности гауссова отображения для умбилических поверхностей может быть взято за определение КР-структуры на твисторах Лебрюна. Для сравнения, если бы мы требовали голоморфности гауссова отображения для минимальных поверхностей, мы бы пришли к твисторам Илса — Саламона, отличающихся от твисторов Лебрюна тем, что поворот на 90° в горизонтальном направлении у них берётся с обратным знаком. Поскольку в общем римановом многообразии даже локальные умбилические поверхности редки, а минимальные напротив представлены в изобилии, на твисторах Илса — Саламона имеется много голоморфных кривых; в то же время почти КР-структура на них никогда не интегрируема, что означает отсутствие даже локальных голоморфных функций — каковые, напротив, на твисторах Лебрюна представлены в изобилии в силу локальной КР-голоморфной вложимости их в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$.[7]

Твисторы Лебрюна были использованы Лемпертом для доказательства формальной интегрируемости комплексной структуры на пространстве узлов в трёхмерном многообразии с конформной структурой.[8]

Размерности два и шесть — единственные, в которых существование почти комплексной структуры на сфере не запрещено из соображений топологии. В размерности два это просто комплексная структура на рациональной кривой; в размерности шесть существует почти комплексная структура, получающаяся из векторного умножения на единичную нормаль к круглой сфере ${\displaystyle S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7}}$ (впрочем, так же описывается и комплексная структура на ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$). Однако вопрос существования интегрируемой комплексной структуры — то есть локально биголоморфной шару в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ — весьма туманен. В статье 1987 года Orthogonal Complex Structures on ${\displaystyle S^{6}}$ Лебрюн показал, что такая структура не может быть ортогональной в стандартной круглой метрике на ${\displaystyle S^{6}}$. Он рассмотрел отображение, сопоставляющее комплексной структуре во всякой точке её собственное подпространство с собственным числом ${\displaystyle -{\sqrt {-1}}}$, рассмотренное как трёхмерное подпространство в комплексификации ${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$ объемлющего пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$. Если бы почти комплексная структура была интегрируемой, то это отображение было бы голоморфным вложением ${\displaystyle S^{6}}$ в грассманиан ${\displaystyle \mathrm {Gr} (3,7)}$. Это бы давало кэлерову форму на ${\displaystyle S^{6}}$ в силу того, что грассманиан можно реализовать в проективном пространстве; но ${\displaystyle H^{2}(S^{6})=0}$, что ведёт к противоречию.

Лебрюну принадлежит около 100 статей в различных разделах геометрии и математической физики.[9]

• Домашняя страница профессора Лебрюна
• Клод Лебрюн на сайте «Математическая генеалогия»